[DEUG]Fonction a deux variable

[Anonyme]

Bonjour j'ai un petit probleme que je n'ai pas bien compris en cours tout
est allé tres vité, je vous expose le probleme rapidement.
La fonction f(x;y)= xy/(x²+y²) est elle prolongeable par continuité en (0,0)
si oui quel est sa limite ? Le prof avait posé x=rcos(u) et y=rsin(u). Y a
t'il un méthode général pour lever ce genre d'intermination?
Merci d'avance.

[Anonyme]

On Thu, 12 Feb 2004 07:24:04 +0100, jaja wrote:
>Bonjour j'ai un petit probleme que je n'ai pas bien compris en cours tout
>est allé tres vité, je vous expose le probleme rapidement.
>La fonction f(x;y)= xy/(x²+y²) est elle prolongeable par continuité en (0,0)
>si oui quel est sa limite ? Le prof avait posé x=rcos(u) et y=rsin(u). Y a
>t'il un méthode général pour lever ce genre d'intermination?
Non, pas plus que pour calculer des limites dans le cas général.
Dans ton cas, c'est plutôt simple : si cette limite existe,
alors on l'obtient le long de n'importe quelle courbe dont la
limite est le point (0 ; 0). Par exemple, la courbe "y=x".
Dans ce cas, f(x;x) = x^2/(2x^2) = 1/2.
D'autre part, le long de la courbe "y=0, x>0" :
f(x; 0) = 0. Donc si la limite existait, elle vaudrait
à la fois 0 et 1/2. Impossible.

Cette fonction n'est donc pas prolongeable en 0.

>Merci d'avance.
>
>

[Anonyme]

Merci bien :)

[Anonyme]

"Frederic" a écrit dans le message de
news:slrnc2maof.ltr.beal@clipper.ens.fr...
> On Thu, 12 Feb 2004 07:24:04 +0100, jaja wrote:[color=green]
> >Bonjour j'ai un petit probleme que je n'ai pas bien compris en cours tout
> >est allé tres vité, je vous expose le probleme rapidement.
> >La fonction f(x;y)= xy/(x²+y²) est elle prolongeable par continuité en[/color]
(0,0)[color=green]
> >si oui quel est sa limite ? Le prof avait posé x=rcos(u) et y=rsin(u). Y[/color]
a[color=green]
> >t'il un méthode général pour lever ce genre d'intermination?
> Non, pas plus que pour calculer des limites dans le cas général.
> Dans ton cas, c'est plutôt simple : si cette limite existe,
> alors on l'obtient le long de n'importe quelle courbe dont la
> limite est le point (0 ; 0). Par exemple, la courbe "y=x".
> Dans ce cas, f(x;x) = x^2/(2x^2) = 1/2.
> D'autre part, le long de la courbe "y=0, x>0" :
> f(x; 0) = 0. Donc si la limite existait, elle vaudrait
> à la fois 0 et 1/2. Impossible.
>
> Cette fonction n'est donc pas prolongeable en 0.[/color]

Dans le cas où on doit montrer que f n'est pas prolongeable en 0, c'est
facile il suffit de trouver deux chemins où ça coince. Mais pour montrer que
c'est prolongeable, on doit montrer que quel que soit le chemin pour aller
en 0, on obtient le même résultat. Mais comment faire en pratique?

[Anonyme]

On Sun, 15 Feb 2004 18:23:34 +0100, CB wrote:
>Dans le cas où on doit montrer que f n'est pas prolongeable en 0, c'est
>facile il suffit de trouver deux chemins où ça coince. Mais pour montrer que
>c'est prolongeable, on doit montrer que quel que soit le chemin pour aller
>en 0, on obtient le même résultat. Mais comment faire en pratique?
Hélas il n'y a pas de méthode générale. En pratique, on calcule
la limite éventuelle (selon trois ou quatre chemins différents
pour se persuader qu'elle est unique), que l'on soustrait
à f pour obtenir g(x,y,...) dont on doit montrer que la
limite est 0. Ensuite ça dépend : soit on fait tout avec
la définition (les epsilon etc) soit on peut trouver une
astuce. La définition ne fait pas intervenir de chemins,
cela dit en passant. « Juste » des epsilon et des eta.

--
Frédéric