[DEUG]Somme d'une fonction

[Anonyme]

Bonjour à tous et meilleurs v¦ux pour l'année 2004.
J'ai (une fois de plus) quelques doutes sur un exo.

1) Soit f une fonction de classe C^2 continue sur un intervalle ouvert I
contenant 0 et s'annulant en 0.
Déterminer lim(n -> +oo)(somme(k = 0 ..n ; f(k/n^2)))

f de classe C^2 => f admet un DL d'ordre 2 au voisinage de 0

et après calculs:
lim(n -> +oo)(somme(k = 0 ..n ; f(k/n^2))) = f'(0)/2

Mon problème est que je n'ai pas utilisé "complètement" la propriété "f
de classe C^2". Est-ce qu'il y a un résultat plus intéressant dans ce
cas ?

2) Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant 0,
s'annulant en 0 et dérivable en 0.
Déterminer lim(n -> +oo)(somme(k = 0 ..n ; f(k/n^2)))

Je pose f(k/n^2) = (k/n^2)*[ (f(k/n^2) - f(0))/( k/n^2 - 0)]

et donc : lim(n -> +oo)(f(k/n^2) = (k/n^2) f'(0)

Est-ce que je peux ensuite affirmer que puisque chaque f(k/n^2) admet
une limite quand n -> +oo, la limite de la somme vaut la somme des
limites ?

Merci d'avance.

[Anonyme]

> 1) Soit f une fonction de classe C^2 continue sur un intervalle ouvert I
> contenant 0 et s'annulant en 0.
> Déterminer lim(n -> +oo)(somme(k = 0 ..n ; f(k/n^2)))
>
> f de classe C^2 => f admet un DL d'ordre 2 au voisinage de 0
>
> et après calculs:
> lim(n -> +oo)(somme(k = 0 ..n ; f(k/n^2))) = f'(0)/2
>
> Mon problème est que je n'ai pas utilisé "complètement" la propriété "f
> de classe C^2". Est-ce qu'il y a un résultat plus intéressant dans ce
> cas ?

Je crois me souvenir que deux fois dérivable suffit.

> 2) Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant 0,
> s'annulant en 0 et dérivable en 0.
> Déterminer lim(n -> +oo)(somme(k = 0 ..n ; f(k/n^2)))
>
> Je pose f(k/n^2) = (k/n^2)*[ (f(k/n^2) - f(0))/( k/n^2 - 0)]
>
> et donc : lim(n -> +oo)(f(k/n^2) = (k/n^2) f'(0)
>
> Est-ce que je peux ensuite affirmer que puisque chaque f(k/n^2) admet
> une limite quand n -> +oo, la limite de la somme vaut la somme des
> limites ?

C'est forcément faux: tu as du n et du k dans le résultat, alors que k est
une variable de sommation et n est une variable qui tend vers l'infini!

--
Maxi

[Anonyme]

"numa" a écrit dans le message de news:
adresse-9B6229.07584404012004@news.wanadoo.fr...
> Bonjour à tous et meilleurs v¦ux pour l'année 2004.
> J'ai (une fois de plus) quelques doutes sur un exo.
>
> 1) Soit f une fonction de classe C^2 continue sur un intervalle ouvert I
> contenant 0 et s'annulant en 0.
> Déterminer lim(n -> +oo)(somme(k = 0 ..n ; f(k/n^2)))
>
> f de classe C^2 => f admet un DL d'ordre 2 au voisinage de 0
>
> et après calculs:
> lim(n -> +oo)(somme(k = 0 ..n ; f(k/n^2))) = f'(0)/2
>
> Mon problème est que je n'ai pas utilisé "complètement" la propriété "f
> de classe C^2". Est-ce qu'il y a un résultat plus intéressant dans ce
> cas ?
>

C'est vrai, on n'utilise pas le fait que f est C^2.
L'hypothèse minimale est : f dérivable en 0
Le résultat est le même
Mais il est plus facile à obtenir avec f C^2 (un coup de Taylor-Lagrange et
c'est gagné).
Alors qu'avec f seulement dérivable en 0 il faut jongler avec les epsilon
(mais ce n'est quand même pas très difficile)