Famille génératrice

[Near]

salut :id:



Ces vecteurs forment-ils :
1.Une famille libre ? si oui ,la compléter pour obtenir une base de ,si non donner des relations de dépendances entre eux et extraire de cette famille au moins une famille libre.
2.Une famille génératrice ? si oui ,en extraire au moins une base de l'espace.Si non,donner la dimension du s.e qu'ils engendrent.
ma réponse.
pour la deuxième famille,je l'ai échelonné et j'ai trouvé.
.
Donc la famille est libre.
j'ajoute pour la compléter à une base de .( est triangulaire c'est une base de )
ça va jusque là ?
:id:

[Ben314]

Nickel-Chrome

(tu fait deux exos en même temps ?
l'autre est effectivement bien plus dur...)

[Near]

Nickel-Chrome

(tu fait deux exos en même temps ?
l'autre est effectivement bien plus dur...)

en effet :id: ...
merci pour votre aide.
alors c'est juste ce que j'ai fait.
:we:

[Ben314]

Oui, c'est juste.

[Near]

merci :id:
je continue.
la deuxième famille n'est pas génératrice.

[Near]

la deuxième n'est pas génératrice mais elle peut engendrer quoi ? :doh:
un peu d'aide :id:

[Mathusalem]

Elle engendre l'ensemble des vecteurs appartenant à span(v1, v2, v3).

Autrement dit, elle engendre un sous ensemble de vecteurs qui s'écrivent comme av1 + bv2 + cv3, avec a,b,c dans R( ou C , je sais pas sur quoi tu travailles) et v1, v2, v3 dans R4.

Je ne pense pas que tu puisses en dire beaucoup plus :)

[Near]

Elle engendre l'ensemble des vecteurs appartenant à span(v1, v2, v3).

Autrement dit, elle engendre un sous ensemble de vecteurs qui s'écrivent comme av1 + bv2 + cv3, avec a,b,c dans R( ou C , je sais pas sur quoi tu travailles) et v1, v2, v3 dans R4.

Je ne pense pas que tu puisses en dire beaucoup plus

Span(v1,v2,v3) est de dimension 3.
:id:
c'est ça ?
merci beaucoup.

[Mathusalem]

Oui. C'est dans ce cas là qu'il ne faut pas confondre. Span(v1,v2,v3) est un sous-espace vectoriel de dimension 3, composé de vecteurs de R4 !
Les plus experts que moi me reprendront, mais justement, on dit qu'en général, une liste v1,v2,v3, ... , vn est une base de l'espace vectoriel (de dimension n!), si la liste est libre, et si le span de la liste engendre l'espace vectoriel.

A+

[Near]

Oui. C'est dans ce cas là qu'il ne faut pas confondre. Span(v1,v2,v3) est un sous-espace vectoriel de dimension 3, composé de vecteurs de R4 !
Les plus experts que moi me reprendront, mais justement, on dit qu'en général, une liste v1,v2,v3, ... , vn est une base de l'espace vectoriel (de dimension n!), si la liste est libre, et si le span de la liste engendre l'espace vectoriel.

A+

merci beaucoup :id: .

[Ben314]

Salut,
Pour savoir sil'espace vectoriel F=vect{v1,v2,v3} (que les anglophones notes span{...}) est bien de dimension 3, il faudrait montrer que la famille est libre, or...

[Near]

Salut,
Pour savoir sil'espace vectoriel F=vect{v1,v2,v3} (que les anglophones notes span{...}) est bien de dimension 3, il faudrait montrer que la famille est libre, or...

merci "Ben314". :we:
j'ai déjà montré que la famille (v1,v2,v3) est libre.
donc elle engendre un s.e.v F,(F=vect{v1,v2,v3}).
est-ce que je peux dire que (v1,v2,v3) est une base de F.
:hein:

[Mathusalem]

Soit V un espace vectoriel. On dit que la liste (v1,v2,....,vn) est une base de V si :
1. v1,...,vn sont linéairement indépendants,
2. vect{v1,....,vn} = V

Donc ?

[Near]

Soit V un espace vectoriel. On dit que la liste (v1,v2,....,vn) est une base de V si :
1. v1,...,vn sont linéairement indépendants,
2. vect{v1,....,vn} = V

Donc ?

... (v1,v2,v3) est une base de F.
c'est ça ?
:we:

[Mathusalem]

Oui :)

A+

[Near]

Oui

A+

merci "Mathusalem" :we:

[Near]

salut une autre fois :id:
pour la première famille je l'ai échelonnée et j'ai trouvé,
v1=(1,1,1,1),v''2=(0,0,0,-4),v'3=(0,-1,-3,2),v''4=(0,0,1,-5) et v'''5=(0,0,0,0).
donc cette famille est liée.
pour les relations de dépendances j'ai trouvé,
.
On a,
Vect(v1,v2,v3,v4,v5)=Vect(v1,v'3,v''4,v''2).
donc cette famille est génératrice.
:id:
est-ce juste ?
merci.

[Ben314]

Sur le principe, c'est juste (j'ai pas fait les calculs).
Deux remarques :

1) Tu as sans doute du voir en cours que dans un espace vectoriel de dim n, toute famille de strictement plus de n élément est liée.
C'est pas mal de le dire dés le début : "sans calculs on sait que c'est lié"
(évidement, si tu l'as pas vu, tu laisse tomber)

2) vu la logique de l'exo, a mon avis tu doit plutôt écrire
Vect(v1,v2,v3,v4,v5)=Vect(v1,v2,v3,v4) (tu enlève le v5 qui s'écrit en fonction des autres)

Aprés, ben.. faut continuer : la famille (v1,v2,v3,v4) est elle libre ?
Si oui -> fin, si non-> on en enlève un autre.
Normalement, si tu as super bien procédé pour trouver la relation de dépendance (v5=2v1+v4), tu doit déjà savoir s'il y a d'autres relations n'impliquant pas v5...

[Near]

Sur le principe, c'est juste (j'ai pas fait les calculs).
Deux remarques :

1) Tu as sans doute du voir en cours que dans un espace vectoriel de dim n, toute famille de strictement plus de n élément est liée.
C'est pas mal de le dire dés le début : "sans calculs on sait que c'est lié"
(évidement, si tu l'as pas vu, tu laisse tomber)

2) vu la logique de l'exo, a mon avis tu doit plutôt écrire
Vect(v1,v2,v3,v4,v5)=Vect(v1,v2,v3,v4) (tu enlève le v5 qui s'écrit en fonction des autres)

Aprés, ben.. faut continuer : la famille (v1,v2,v3,v4) est elle libre ?
Si oui -> fin, si non-> on en enlève un autre.
Normalement, si tu as super bien procédé pour trouver la relation de dépendance (v5=2v1+v4), tu doit déjà savoir s'il y a d'autres relations n'impliquant pas v5...

Grand merci pour toi "Ben314" :id: .