Famille génératrice => Base

[Kalou94]

Bonjour à tous,

Voilà, je me posais une petite question sur les espaces vectoriels :

Pour montrer qu'une famille est une base de R^3 (par ex) :

1) On montre qu'elle est génératrice.
2) On montre qu'elle est libre.

Lorsqu'on a une famille de trois vecteurs genre u = (1, 1, -1), v = (-1, 1, 1), w = (1, -1, 1), on a pas besoin de montrer que la famille est génératrice car dim R^3 = 3 et la famille comporte justement 3 vecteurs donc on montre seulement qu'elle est libre.

Mais voilà la question : Si on a pas cette condition de départ qui nous permet de simplifier la donne pour le fait qu'elle soit génératrice, comment doit-on procéder pour montrer que la famille est génératrice (avec cet exemple) ?

Edit : Deuxième question => Comment faire pour exprimer des coordonnées d'un vecteur dans une base ? Par exemple, sur mon exo : Donner les coordonnées du vecteur (2, 1, 3) dans cette base (celle plus haut).

[Doraki]

Pour montrer qu'une famille est génératrice on montre que tous les vecteurs peuvent s'exprimer comme combinaison linéaire de ces vecteurs.

Pour trouver les coordonnées de (2,1,3) dans la base (e1,e2,e3) / montrer que (2,1,3) peut s'exprimer comme combinaison linéaire de e1 e2 e3, on cherche les nombres x,y,z tels que (2,1,3) = x*e1 + y*e2 + z*e3.

[Ben314]

Salut,
Le plus simple, c'est d'utiliser la définition :
Tu prend un vecteur (a,b,c) quelconque de R^3 et tu regarde s'il peut s'écrire en fonction de u,v,w, c'est à dire s'il existe trois réels x,y,z tels que
(a,b,c)=x.(1, 1, -1)+y(-1, 1, 1)+z(1, -1, 1).
Ce qui revient au système :
x-y+z=a
x+y+-z=b
-x+y+z=c
système dans lequel les inconnues sont x,y,z et où a,b,c sont des "paramètres".

En fait, si tu comprend bien ce qu'on a écrit, on a :
1) La famille est génératrice ssi ce système a toujours (i.e. quelque soient a,b,c) au moins une solution.
2) La famille est libre ssi ce système a toujours au plus une solution.
3) La famille est une base ssi ce système a exactement une solution.

Edit : Grillé...

[Kalou94]

En cherchant x, y, z tel que (2,1,3) = x*u + y*v + z*w.
Avec u = (1, 1, -1), v = (-1, 1, 1), w = (1, -1, 1), j'obtiens :

x = 3/2
y = 2
z = 5/2

1) donc, les coordonnées du vecteurs sont ((3/2), 2, (5/2)) ?
Ou il faut calculer (3/2)*u + 2*v + (5/2)*z ?

2) Y'a t-il un moyen de vérifier notre résultat (3/2), 2, (5/2) en retombant sur (2,1,3) ou quelque chose comme ça ?

Merci

[Doraki]

Si tu calcules (3/2)*u + 2*v + (5/2)*w et que tu trouves (2,1,3), c'est que tu t'es pas trompé.

[Ben314]

Les coordonnées du vecteur (2,1,3) dans la base (u,v,w) sont donc bien (3/2 , 2 , 5/2 ).
Si tu calcule (3/2)*u + 2*v + (5/2)*w , en remplaçant u,v,w par leurs coordonnées (dans la base de départ), ben vu que ça correspond au système que tu as résolu, tu devrait trouver (2,1,3) et c'est effectivement une façon de vérifier ton résultat.


Edit : encore grillé !!!

[Kalou94]

Merci beaucoup ! :=)

Edit :

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V
V

[Kalou94]

Alors finalement, j'ai un petit soucis avec un des exos.

J'ai tout un exo pour me retrouver avec Ker(f) = Vect({1,-1}) et ({1,-1}) est libre.

Comment peut on dire que ({1,-1}) est libre ? D'après mon cours, une famille de deux vecteurs est liée s'il existe un lambda tel que u = lambda.v ou v = lambda.u.

Là, 1 = lambda.1 avec lambda = -1, donc liée, non ? :/

[Ericovitchi]

un vecteur tout seul (différent du vecteur nul) est toujours libre. Il engendre une droite qui est un espace vectoriel de dimension 1 .