Famille génératrice confirmation

[Javos]

Oui je suis d'accord. Donc ca nous donne :
a=-2c-3d
2(-2c-3d)+b+c+4d=0 soit -3c+b-2d=0 soit b=3c+2d
3(-2c-3d)+2(3c+2d)+5d=0 soit -6c-9d+6c+4d=0 soit -5d=0

Donc on a :
a=-2c-3d
b=3c+2d
-5d=0

Et on peut conclure quoi avec cela ?

[alavacommejetepousse]

en supposant que ton calcul est juste

d = 0

a et b fct de c

c quelconque
donc la famille est liée car il y a des sols non nulles (on le savait déjà )
maintenant il s'agit d 'extraire une famille libre de cardinal maximal
si on prend c = 0 v3 disparait

et on av1 + bv2 + dv4 = 0 qui implique a = 0, b= 0 d= 0
donc la sous famille est libre

[Javos]

Merci pour la famille liée c'est bon.

Pour la question : Ces vecteurs forment ils une famille génératrice ?
On dit que maintenant il s'agit d 'extraire une famille libre de cardinal maximal
si on prend c = 0 v3 disparait

et on av1 + bv2 + dv4 = 0 qui implique a = 0, b= 0 d= 0
donc la sous famille est libre.

Comme la sous famille est libre , la famille est génératrice. Est ce correct ? C'est cette question qui ma pose beaucoup de problèmes.
Merci.

[alavacommejetepousse]

la sous famille de 3 vecteurs est libre de cardinal 3 ds un espace de dim 3 donc cest une base de cet espace
elle est donc génératrice et toute SUR famille est generatrice

[Javos]

Ok merci beaucoup au moins c'est clair. Mais comment on sait qu'il faut prendre c=0 ?

[alavacommejetepousse]

tout s écrit en fonction de c donc si c est nul tout le rese aussi

rem on a écrit en fonction de c mais on aurait pu écrire en fct de a ou b

[Javos]

Oui je suis d'accord. Donc il faut préciser que la famille est génératrice POUR C=0 non ?

[alavacommejetepousse]

non...

une famille est génératrice ou ne l'est pas il n'y a pas à discuter..

[Javos]

Ok donc dans ce cas la famille de 4 vecteurs est bien génératrice. On est ok là dessus ? Et la base de l'espace est v1,v2,v4.

Quand vous marquez : on av1 + bv2 + dv4 = 0 qui implique a = 0, b= 0 d= 0
donc la sous famille est libre.
J'ai beau écrire le système je trouve que ce n'est pas libre... :cry:

[Javos]

Une idée alavacommejetepousse svp ? :hein:

Merci.

[alavacommejetepousse]

Une idée alavacommejetepousse svp ? :hein:

Merci.

c'est forcément qu il y a une erreur ds la résolution du système en a,b,c,d

[Javos]

Ok donc je me relance dans les calculs.
On a donc :
a(1,2,3)+b(0,1,2)+c(2,1,0)+d(3,4,5)=0

Soit :
a+2c+3d=0
2a+b+c+4d=0
3a+2b+5d=0

Soit :
a=-2c-3d
2(-2c-3d)+b+c+4d=0 soit -4c-6d+b+c+4d=0 soit -3c-2d+b=0
Donc b=3c+2d
3(-2c-3d)+2(3c+2d)+5d=0 soit -6c-9d+6c+4d+5d=0 soit 0=0.
C'est là que ca buggue... On peut en déduire quoi après svp ?
Merci.

[alavacommejetepousse]

donc d n 'est pas nul d et c sont quelconques a et b s 'écrivent en fonction de c et d

donc en prenant c = 0 et d = 0 donc une cbl linéaire nulle de v1 et v2 on trouve a= b= 0 donc (v1,v2) libre mais toute famille de 3 vecteurs sera LIEE

[Javos]

Ok c'est bien ca merci. Donc :
Conclusion : La famille de 4 vecteurs est bien génératrice et sa base est {v1,v2}.
Est ce correct maintenant ?
Merci.

[alavacommejetepousse]

non

génératrice de quoi ?


le sous espace vectoriel F engendré par les 4 vecteurs est de dim 2
une base de F ( une base d'une famille n'a pas de sens) est (v1, v2)

la famille des 4 vecteurs est liée génératrice de F (par définition) mais pas génératrice de R^3

[Javos]

Donc à la question :
2.Une famille génératrice ?
Si oui en extraire au moins une base de l'espace.Si non, donner la dimension du sous-espace qu'ils engendrent.

Je réponds quoi ? :mur: Je dis que la famille n'est pas génératrice et la dimension du sous espace qu'ils engendrent est 2 ?

Merci pour votre réponse car cette question est vraiment :marteau: .

[alavacommejetepousse]

Donc à la question :
Je dis que la famille n'est pas génératrice et la dimension du sous espace qu'ils engendrent est 2 ?

: .

c'est ça
l 'affaire fut rude

[Javos]

Ouffffffffff. Merci beaucoup. En effet ce fut très prenant cette question. Bon Week end. :++: