Famille génératrice confirmation

[Javos]

Bonjour,
J'ai un petit doute sur un exercice et j'aimerais bien avoir votre avis.
Voici l'énoncé :
Dans R^3, on considère la famille de vecteurs suivante :
(v1,v2,v3,v4) avec v1=(1,2,3), v2=(0,1,2), v3=(2,1,0) et v4=(3,4,5).

Ces vecteurs forment ils :

1. Une famille libre ? J'ai mis que non car d'une part on a une famille de 4 vecteurs dans R^3 et on la relation de dépendance : v2=v4-v1-v3.

2.Une famille génératrice ?
Si oui en extraire au moins une base de l'espace.Si non, donner la dimension du sous-espace qu'ils engendrent. Celle là je bloque un peu plus.
Est ce qu'une famille de 4 vecteurs dont trois sont indépendants, dans un espace de dimension 3, est génératrice et liée ?

Merci pour votre confirmation. Car c'est un véritable :mur: .

[alavacommejetepousse]

une famille libre de 3 vecteurs ds un espace de dim 3 est une base de cet espace

[Javos]

Ok merci donc la famille est liée mais est elle génératrice ? :mur:

[alavacommejetepousse]

la famille des 4 est liée
celle des trois libre donc base donc génératrice donc celle des 4 aussi

[Javos]

Ok merci.
Pour démontrer que v1,v4,v3 sont libres, il faut bien écrire :
a(1,2,3)+b(2,1,0)+c(3,4,5)=0

Soit :
a+2b+3c=0 L1
2a+b+4c=0 L2
3a+5c=0 L3

Soit :
2L2-L1=3a+5c

Et on tourne en rond non ? :mur:

[alavacommejetepousse]

L3 donne c en fct de a et en reportant ds L2 b en fonction de a puis la valeur de a ds L1

[Javos]

Merci. :id:
Donc en reprenant ca nous donne :

Soit :
a+2b+3c=0 L1
2a+b+4c=0 L2
3a+5c=0 L3

Soit :
a+2b+3c=0 L1 soit a+4a/5-9a/5=0
2a+b-12a/5=0 L2 soit b=2a/5
c=-3a/5

Et c'est valable pour tout a donc ca ne vas pas... :triste:

[Javos]

Donc ca ne va pas ? :cry: C'est juste pour savoir si ca va ou pas...Merci.

[Javos]

Svp alavacommejetepousse...

[alavacommejetepousse]

je ne sais pas quoi dire

tu me dis que tu connais la méthode du pivot alors fais la JUSQU AU BOUT

pour obtenir un système triangulaire

quand tu l as écris le ici

[Javos]

Donc on a bien :
a+2b+3c=0 L1
2a+b+4c=0 L2
3a+5c=0 L3

Soit :
a+2b+3c=0 L1 soit a+4a/5-9a/5=0
2a+b-12a/5=0 L2 soit b=2a/5
c=-3a/5

C'est comme vous m'aviez dit de faire non ?

[alavacommejetepousse]

donc a est quelconque
et la famille n'est pas libre

[Javos]

Oui merci je suis ok donc la famille de 4 vecteurs n'est pas génératrice c'est bien ca ?

[alavacommejetepousse]

heu ici c 'était une famille de 3 vecteurs puisque trois scalaires a,b,c

[Javos]

Oui je suis d'accord mais l'énoncé était :
Dans R^3, on considère la famille de vecteurs suivante :
(v1,v2,v3,v4) avec v1=(1,2,3), v2=(0,1,2), v3=(2,1,0) et v4=(3,4,5).

Ces vecteurs forment ils :

1. Une famille libre ? J'ai mis que non car d'une part on a une famille de 4 vecteurs dans R^3 et on la relation de dépendance : v2=v4-v1-v3.

2.Une famille génératrice ?
Si oui en extraire au moins une base de l'espace.Si non, donner la dimension du sous-espace qu'ils engendrent. Celle là je bloque un peu plus.

Donc il faut démontrer que v4, v1, v3 ne sont pas libres comme on vient de le faire non ?

Je suis vraiment perdu là... Merci pour votre patience.

[alavacommejetepousse]

on reprend tout depuis le début c'est mieux en effet

on part de la famille des 4 vecteurs on regarde la liberté et on fait tout en même temps

1 écris le système
2 résouds le en regardant combien de scalaires indépendants il reste

[Javos]

Merci.
(v1,v2,v3,v4) avec v1=(1,2,3), v2=(0,1,2), v3=(2,1,0) et v4=(3,4,5).
Donc on remarque que ce n'est pas libre car on a la relation de dépendance : v2=v4-v1-v3.

Ecriture du système pour montrer que ce n'est pas libre :
a+2c+3d=0
2a+b+c+4d=0
3a+2b+d=0

Jusqu'ici c'est juste ?

[alavacommejetepousse]

5d dans la dernière équation

[Javos]

Merci.
Ecriture du système pour montrer que ce n'est pas libre :
a+2c+3d=0
2a+b+c+4d=0
3a+2b+5d=0
Mais dans ce cas on 4 inconnues pour 3 équations c'est impossible non ? :mur:

[alavacommejetepousse]

tu peux écrire avec l1 a en fonction de c et d puis b en fonction de c et d avec l 2 et reporter dans l 3 pour voir si c s'écrit en fonction de d ou non