Famille generatrice

par **amine99** » 25 Déc 2007, 13:48

bonjour
svp je suis un etudiant en math a insat de tunisie j'aimerais savoir comment demontrer que une famille est generatrice
par ex dans R^3 est ce que v1(1,2,0) v2(2,5,3) v3(1,2,3) est une famille generatrice
et pour mq c'est une base est ce que on dois demontrer que c'est une famille generatrice en plus d'etre libre
merci de d'accepter de repondre a mes questions

par **SimonB** » 25 Déc 2007, 13:59

j'aimerais savoir comment demontrer que une famille est generatrice

Appliquer la définition : tu prends un vecteur de l'espace et tu essayes de montrer qu'il peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de ta famille.

par ex dans R^3 est ce que v1(1,2,0) v2(2,5,3) v3(1,2,3) est une famille generatrice

A vue de nez, oui... Mais la raison qui me fait "voir" ça tout de suite est expliquée plus bas, car

et pour mq c'est une base est ce que on dois demontrer que c'est une famille generatrice en plus d'etre libre

Dans un espace de dimension finie n (ici 3), toute famille génératrice de cardinal n est une base ; et de même, toute famille libre de cardinal n est une base !

Ainsi, dans ton exemple, tu vois que la famille est de cardinal 3, donc il suffit de montrer qu'elle est libre ou qu'elle est génératrice pour montrer qu'elle est libre et génératrice. Attention, ce ne serait pas vrai si ta famille avait un cardinal différent de 3 !!!

Un conseil : il est généralement plus simple de montrer qu'une famille est libre que génératrice. En effet, montrer qu'une famille est génératrice nécessite de trouver les coefficients qui conviennent pour un vecteur quelconque, alors que pour montrer qu'elle est libre, il suffit de résoudre une équation...

par **amine99** » 25 Déc 2007, 14:21

est ce que S1{ v1(2,1,0) v2(3,3,0) et v3(3,6,0)} est une famille generatrice de R^3
et pourquoi ?
est ce que si rang S1 =dim E donc S1 est a la fois libre et generatrice?
est ce que la dimenssion est definit par le nombre de composantes ou de vecteurs?
et est ce que la dimenssion d'un espace vectoriel est definit par le nombre de ses vecteurs libres ?
merci

par **leon1789** » 25 Déc 2007, 19:25

amine99 a écrit:est ce que S1{ v1(2,1,0) v2(3,3,0) et v3(3,6,0)} est une famille generatrice de R^3

non, car ils sont tous les 3 dans R^2 en fait !

amine99 a écrit:et pourquoi ?

regarde leurs dernières coordonnées....

amine99 a écrit:est ce que si rang S1 =dim E donc S1 est a la fois libre et generatrice?

oui : le rang d'une famille S est la dimension de l'espace qu'elle engendre. Si rang S = dim E, alors S est une famille génératrice de E. Et comme le cardinal de S est égale à la dimension de E (-> 3), alors S est une famille génératrice minimale, donc une base...
As-tu lu ton cours ?

amine99 a écrit:est ce que la dimenssion est definit par le nombre de composantes ou de vecteurs?

que veux-tu dire : le nombre de composantes de quoi ? le nombre de vecteurs de quoi ?

amine99 a écrit:et est ce que la dimenssion d'un espace vectoriel est definit par le nombre de ses vecteurs libres ?

Que veux-tu dire par "vecteurs libres" : un vecteur non nul est toujours libre, mais libre tout seul ! En fait, il faut parler de famille libre (ou au contraire liée).

par **Antho07** » 25 Déc 2007, 20:51

La dimension d'un espace est le nombre de vecteurs constituant une base de l'espace. Toutes les bases du meme espace ont le meme nombre de vecteur, cela ne depent pas de la base choisie, c pour sa que l'on peut parler de dimension.

La dimension est le cardinal de la famille qui forme une base.

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