Preuve famille génératrice contient base

[nico2b]

Bonjour, je n'arrive pas à comprendre certaine étape de la preuve de la proposition suivante :

Soit E un k-ev de dimension finie. Alors toute famille génératrice contient une base de E

Voici la preuve qui en a été faite :

E k-ev de dimension finie il existe une famille génératrice de Efnie.

* Si elle est vide : E = {0}. On pose B =
* Sinon, G = () engendrent E comme K-ev.

Soit B = la plus petite sous-famille de G engendrant le K-ev de E.
On peut supposer B = () avec n p.

Alors B est libre : on démontre par l'absurde.
Si ce n'est pas le cas, l'un des vecteurs (disons u_1) est combinaison linéaire des autres
Donc Vect() = Vect () = E () engendre E ---> Contradiciton car c'est la plus petite possible

Et on conclut par B libre + famille génératrice donc B est une base de E.

Où j'ai du mal à comprendre c'est dans la partie "absurde" et notament cette égalité là : Vect() = Vect()

Meci pour votre aide

[Jeebay]

Démo par l'absurde: B=u1...un plus petite famille génératrice de E
Si la famille n'est pas libre, on a u1 qui s'écrit comme une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs de u, d'ou B=u1...un=C=u2...un car u1 est généré par u2...un ( cf u1 combinaison linéaire de plusieurs vecteurs ). On est en présence d'une contradiction, u1...un choisie plus petite famille, et on trouve C une base plus petite. Donc la famille B est libre.
Tu vois le truc ou pas ? Je pense qu'on peux l'expliquer comme sa

[helene_detroie]

soit U1 appartient à vect (U2,...,Up) . Il s'écrit comme combinaison linéaire de U2,...Up.
Pour tout v appartient à vect (U1,...Up). v peut s'écrire comme combinaison linéaire de U2,...Up car U1 s'écrit comme combinaison linéaire de U2,...Up. Donc v appartient à vect (U2,...,Up)
Ainsi vect (U1,...,Up)=vect(U1,...,Up)

[nico2b]

Ah oui daccord ça va le franc est tombé
Merci à tous pour vos explications

[fahr451]

bonjour

pour ma part j'aime bien déduire ce résultat (2)du résultat (1):
toute famille libre peut être complètée en une base avec des vecteurs d'une famille génératrice quelconque

quand on a (1 ) , (2) est immédiat
alors que quand on a (2) (1) ne l'est pas.

[nico2b]

Oui et en plus ce n'est pas dificile à retenir
Merci pour l'info

[nico2b]

Dans le même genre : Soit E K-ev de dim n

1) Toute famille libre(u1, ... , un) de n vecteurs est une base
2) Toute famille génératrice (u1, ... , un) de n vecteurs est une base

Preuve de 1) Par le théorème de la base incomplète, on aura (u1, ..., un , ..., qui est une base de E mais comme E est de dimension n, k = 0.


Pour 2) il suffit d'utilisé la propriété tout en haut

Merci pour votre aide

[Jeebay]

Tu as besoin d'aide sur quel point ?

[nico2b]

Je voulais savoir si mon raisonnement était correct.
Et pour le point 2) si , en citant la propriété "Soit E un k-ev de dimension finie. Alors toute famille génératrice contient une base de E", c'était suffisant pour la preuve ou non

Merci pour l'aide

[Jeebay]

Le raisonnement du 1) à l'air pas mal, pour le second j'y réflechis

[Jeebay]

La seconde doit se faire également avec la bas incomplète, soit u1...un une famille génératrice de E, alors si E est de dimension n cette famille est une base de E, enfin je pense...

[nico2b]

La base incomplète s'applique aux famille libres non?

J'aurais pensée que, comme E est de dim finie, on a que toute les familles génératrices contiennent une base (qui doit etre de taille n) et donc on considère les familles génératrices de tailles n Mais je suis pas sur...

En tt cas merci de m'aider :we:

[Jeebay]

Je n'ai pas brillé la dessu je te le concède !! Je vais réflechir plus longement à ca :)

[nico2b]

J'aurais pensée que, comme E est de dim finie, on a que toute les familles génératrices contiennent une base (qui doit etre de taille n) et donc on considère les familles génératrices de tailles n

Est-ce correct pour la démonstration?
Merci de votre aide