Exercice rigolo ^^

[egan]

Salut,
Je vous propose cet exo. Je ne sais pas du tout s'il s'agit d'un classique ou non mais je l'ai trouvé marrant.
Déterminer la borne inférieure de l'ensemble suivant:



Amusez-vous bien. ^^
@+ Boris.

[Le_chat]

Yop!

Je connais cet exo, je crois en effet que c'est un classique (enfin quand on voit la tête de l'intégrale...)

[girdav]

Je pense aussi qu'il s'agit d'un classique : penser en terme de produit scalaire.

[Zweig]

Un classique ... quand on a déjà vu comment on pouvait appliquer les espaces euclidiens dessus :we:.

[mathelot]

Bonjour,

conjecture:

un petit croquis: la courbe de exponentielle dans le rectangle [0;1]x[1;e]
et une droite d'équation y=ax+b

Ce qui a l'aire de minimiser la différence d'aires est la droite horizontale (a=0)
passant par la valeur moyenne


on développe et on fait , M'sieur ? :we:

[egan]

En effet, ça se fait très bien avec les euclidiens. Il faut s'interresser à la distance de exp à l'espace vectoriel des fonctions affines.
J'ai trouvé une autre méthode beaucoup plus bourrine. Je me suis servi de Maple pour les calculs. On calcule l'intégrale pour des valeurs quelconques de a et de b. On se retrouve alors avec une fonction f de deux variables pour l'intégrale. On cherche les extremums possibles en résolvant le système qui correspond à l'annulation des deux dérivées partielles. On trouve qu'il y a bien un extremum en (a_0;b_0). L'étude du signe de f(a_0+u;b_0+v)-f(a_0;b_0) en fonction du (u;v) nous montre bien que cette expression est toujours positive ou nulle.
Mathelot, je ne comprends pas trop ce que tu fais.

[mathelot]

Mathelot, je ne comprends pas trop ce que tu fais.

je fais de l'analyse niveau Terminale S. un dessin de la courbe exponentielle
dans le rectangle plan
un segment de droite quelconque situé dans ce rectangle et ..résolution visuelle

je conjecture alors : a=0 et b=valeur moyenne de "exponentielle"

[egan]

a n'est pas égal à 0 dans la solution.

[girdav]

On commence par chercher et tels que est orthogonal à pour le produit scalaire . Il faut donc que soit orthogonal à la fois à et à .
donc on obtient la condition . Puis :

donc on obtient que .

Il reste ensuite à résoudre le système puis à calculer le carré de la norme de avec les et ainsi trouvés.