Exercice ECS 1 Polynômes

[babeth107]

Bonjour, voici un exercice que j'ai à faire. Serait-il possible d'avoir quelques pistes ? merci d'avance

Soit n un entier supérieur ou égal à 0

Pn(X) = 1/2i [(X+i)^n - (X-i)^n]
Qn(X) = 1/2 [(X+i)^n + (X-i)^n]

1. Montrer que Pn et Qn sont des polynômes à valeurs dans R (on pourra poser z=x+i), de degrés respectifs n-1 et n
2. Calculer Pn(0) et Qn(0)
3. Expliciter les coefficients des polynômes Pn et Qn. Donner en particulier l'expression des polynômes Pk et Qk pour k= 0,1,2,3
4. Etablir la relation qui lie Pn(-X) et Pn (X) d'une part, celle qui lie Qn(-X) et Qn(X) d'autre part.
5. Determiner les racines de Pn et Qn.


Ce que j'ai fais :
1. z=x+i. Pn(x)= 1/2i [(z)^n - (z*)^n]
Qn(x) = 1/2 [z^n + (z*)^n]


2. P(O) = 1/2i [i^n - (-i)^n]
Q(0) = 1/2 [ i^n + (-i)^n]

[mathelot]

soit



le souci, c'est de revenir des fonctions polynômes en x aux polynômes en X.

sinon, on peut utiliser la formule du binôme

[babeth107]

Oui, j'avais noté par la suite cela.
Comment prouver le degré à partir d'ici ?

[mathelot]

les monômes pour k pair disparaissent






Même chose pour

[babeth107]

Merci de votre réponse, mais est-ce une formule ? je ne comprend pas d'où sort la première ligne

[mathelot]

Merci de votre réponse, mais est-ce une formule ? je ne comprend pas d'où sort la première ligne

c'est le développement du binôme de Newton appliqué à (X+i)^n et (X-i)^n
en espérant une simplification des termes d'exposant "2k" pairs

[babeth107]

D'accord, donc j'obtiens :

[mathelot]

c'est pas

[babeth107]

C'est le (1-(-1)^k) qui me pose problème

[babeth107]

oui pardon pour le n je me suis trompé sur le logiciel

[mathelot]

C'est le (1-(-1)^k) qui me pose problème

s'annule pour k pair et vaut 2 pour k impair.
La somme porte donc sur les k impairs (poser k=2k+1)

[babeth107]

d'accord donc

[mathelot]

d'accord donc

Pour Pn, il s'agit de remplacer k par 2k+1, les "i" se simplifient car

[babeth107]

[mathelot]

le 1er "i" de est au dénominateur.

Il te faut continuer les calculs jusqu'à obtenir une quantité réelle

[babeth107]

oui, j'essaye mais je ne trouve pas quoi faire pour que les i s'éliminent

[babeth107]

[babeth107]

i au dénominateur pardon