Prepa ECS : Variable discrete et intégrale

[Juliadu59]

Bonjour à tous !

J'ai un petit exo de variable aléatoire / densité / intégrale que je n'arrive pas à faire , je suis bloqué à une question.

Merci de votre aide :

Exercice

1) Soit a et b 2 réels distincts ,détermine un unique couple d , e tel que pour tout a , b on a

1/ ( t-a)(t-b) = d / (t-a) + e/(t-b)

=> Réponse = d = 1/b-a et e = 1/(b-a) aussi

2) a) f(x) = landa / 1+ x²


Déterminer Landa

=> Réponse : Landa = 1/Pi

b)déterminer une densité de la variable U = ln | X | notée g


=> Réponse :

g(x) = (2/Pi) *( e(x) / (1+e(2x) )

c) Soit Z = Ln ( |XY| ) , déterminer aussi une densité ( faire un changement de variable pour utiliser remarque du 1)


et c'est là que je bloque !

J'ai fait le changement de variable et j'arrive à avoir un a et un b


=> g(x) = 2/PI² * e(x) * L'intégrale de 0 a +00 de ( 1/ ( 1+u) (u+e(2x)) du


Donc là par identification du 1)

a= -1 b=-e(2x)

et donc avec 1)

g(x) = 2/PI² * L'intégrale de 0 a +00 de ( d / u+1 ) + ( e / u+ e(2x)


Ensuite je n'arrive pas à prolonger le calcul , je sais que c'est un peu compliqué mais je remercie vivement celui qui arrivera à m'aider

Ensuite il faut déterminer une densité de la variable T = |XY|

Je sais pas comment faire non plus


Merci !

[girdav]

Qu'est ce que l'on sait sur X et Y ?

[Juliadu59]

Ah merci , j'avais peur que personne ne me réponde :)

X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes ayant pour densité commune la fonction f définie sur RR par

f(x) = landa / ( 1 + x² )

[girdav]

Quel changement as-tu fait ?

[Juliadu59]

J'ai fait u = exp(2t)

et ensuite du = 2exp(2t)


qd t tend vers + l'infini , u tend vers + l'infini et


qd t tend vers - l'infini u tend vers 0

donc ensuite j'obtiens
2/PI² * e(x) * L'intégrale de 0 a +00 de ( 1/ ( 1+u) (u+e(2x)) du

si pas d'erreur de calcul

Et après bah tu as la suite et mon probleme

[girdav]

On peut décomposer en éléments simples.

[Juliadu59]

On peut décomposer en éléments simples.

C'est à dire ? peux tu m'expliquer merci

[girdav]

Ici, est fixé, donc tu peux appliquer ce que tu as fait en 1/ à des et bien choisis.

[Juliadu59]

Oui mais on sait que alpha et BETA valent 1 / b - a tous les deux


Donc en décomposant par element simple j'obtiens

avec les intégrales et en sachant que a = -1 et b = -exp(2x)

et en sortant le Alpha et le beta ( car independant de t )

2/ PI² * exp x * [ alpha * l'intégrale de 0 a + l'infini de 1/1+t + Beta * l'intégrale de 0 a + l'infini de 1/t + e(2x)


c'est bien ça ? ensuite comment faire

l'intégrale de 1 / t + 1 , c'est simple c'est ln ( t+1) mais l'intégrale de 1 / t + exp (2x) je sais pas du tout comment y arriver

Tu me suis ? Merci

[girdav]

l'intégrale de 1 / t + 1 , c'est simple c'est ln ( t+1) mais l'intégrale de 1 / t + exp (2x) je sais pas du tout comment y arriver

Ce n'est pas beaucoup plus compliqué, c'est juste . Par contre, il faut faire attention à ne pas couper l'intégrale en deux et à intégrer d'abord sur un intervalle borné, puis faire tendre la borne vers l'infini.

[Juliadu59]

Ahhhh Ok d'accord donc en gros je vais avoir

2 / PI ² * exp(x) [ 1 / 1 - exp(2x) * (ln (1+t)) ( quand t tend vers + l'infini - quand t tend vers 0 ) + 1 / exp(2x) * ln ( t + exp(2x) ) quand t tend vers + l'infini - quand t tend vers 0

Mais du coup çà va pas donner une valeur exact car si t tend vers l'infini de ln (1+t) et ln ( t + exp (2x)) , cela vaut + l'infini et donc au résultat final j'aurai du + l'infini non ?

Comment faire :\ ?

Merci et sinon pour la question juste après

Déterminer une densité de la variable T = | XY | , je dois juste utiliser la question d'avant et composer par l'exponentielle !? Comment faire ?


Merci encore tu es le seul sur de nombreux forums qui arrive à m'aider

[girdav]

[Juliadu59]

Ouah merci , je vais lire sa tranquillement pour essayer de comprendre mais tu as utilisé des techniques que je n'avais jamais utilisé .

Tu as une idée pour la question juste après ?

Merci

[girdav]

On peut déterminer la fonction de répartition de grâce à la densité de , puis on la dérive.

[Juliadu59]

Ouaip mais justement comment déterminer la fonction de répartition de XY grace a celle de ln XY , on compose par exponentielle ? Il y a une méthode précise ? Merci

[girdav]

Si f est une densité de , donc une densité de est .