Prepa ECS 1ere année proba finies

[eledys]

Bonjour, voici tout d'abord l'énoncé de mon dm : http://hpics.li/1e3bbf2

J'ai réussi à répondre à la Première Partie, je trouve pour la question 1:

[CENTER]une loi binomiale de parametres (k, 1/n)[/CENTER]

j'ai juste un doute pour la deuxieme question entre :

[CENTER]une loi binomiale de parametres (k, 2/n) ou de parametres (k, 1/n^2) [/CENTER]

Ensuite le début de la Partie Deux est plutôt simple à l'exception de la première question que je n'ai pas trouvée (j'ai souvent du mal à trouver a quelle loi peut correspondre une variable aléatoire !)

Sinon pour la question 2 je trouve :

[CENTER]a) P(Zk=1) = n/n^k

P(Zk=k) = ( n!/(n-k)! ) / n^k

b)j'ai également réussi

c) et la je bloque totalement ! j'ai réfléchi pendant des heures sur cette question et pas moyen de trouver la réponse ! j'ai forcément essayer d'utiliser le résultat qu'on nous a fait démontrer dans la question précédente en utilisant la formule de l'espérance somme (pi*xi) ce qui donne la somme de l*P(Zk+1=l) mais impossible d'en faire quoi que ce soit ! [/CENTER]

Enfin, pour la Partie Trois j'ai tout réussi mis à part la question 3)a pour laquelle je ne parviens pas à expliquer la formule qu'on nous donne !

Voila, en espérant qu'un âme charitable puisse m'aider, merci d'avance.

[BiancoAngelo]

Bonjour, voici tout d'abord l'énoncé de mon dm : http://hpics.li/1e3bbf2

J'ai réussi à répondre à la Première Partie, je trouve pour la question 1:

[CENTER]une loi binomiale de parametres (k, 1/n)[/CENTER]

J'ai juste un doute pour la deuxieme question entre :

[CENTER]une loi binomiale de parametres (k, 2/n) ou de parametres (k, 1/n^2) [/CENTER]

Bonsoir, très vite fait car je pars dormir, mais pour avoir essayé de le montrer avec les coefficients binomiaux sans succès (j'ai cherché peu de temps), j'ai cherché sur le Net, et au final, j'ai trouvé ça qui m'a l'air pas mal :

Au départ, il faut bien considérer que et sont indépendantes. Le nombre de fois où on a pioché la boule i ne dépend pas du nombre de fois où on a pioché la boule j.

Je pense qu'on a naturellement l'idée de la dépendance car on réfléchit boule après boule, alors qu'il faut réfléchir au fait qu'on fait les k tirages (avec remise donc indépendants) en comptant, et c'est tout... (il ne faut pas se dire "J'ai pioché une boule i alors ça réduit les chances d'en avoir autant de j...").

Prenant ce fait en compte, on peut dire que , m allant de 1 à k, avec les variables de Bernouilli de succès .
Idem en prenant , m allant de k+1 à 2k de la même façon.

On a alors m allant de 1 à 2k, avec les indépendants (d'après ce que j'ai écrit avant).

Par suite (définition de la loi binomiale), suit la loi

EDIT : le problème, c'est que je ne me convaincs toujours pas de l'indépendance... La preuve, les deux variables ne peuvent pas valoir k en même temps...
Donc ce n'est pas la réponse !
Faut réfléchir (encore ).

[eledys]

Merci pour ta réponse déjà :) ! En effet l'indépendance pose problème mais je pense qu'elle ne le sont pas puisque le nombre de boule i réduit le nombre possible de boule j, je m'explique :

on a un tirage de k boules avec remise parmi n élements
correspond à un k-uplet avec répétition avec n éléments possibles
on peut donc avoir k boules i dans ce k-uplet

au contraire si on a déjà X boules i dans le k uplet il n'y plus k place pour le nombre de boules j possible mais k-X ce qui va changer la probabilité puisque le nombre total lui ne change pas !

Les deux variable sont donc dépendantes l'une de l'autre :p

Après on peut dire que la première variable correspond au fait de tirer la boule i sur k tirages et que la probabilité est de 1/n a chaque fois d'où la loi binomiale B(k,1/n)
Donc la deuxième loi correspond au fait de tirer une des deux boules sur k tirages et la proba est alors de 2/n d'ou la loi binomiale B(k,2/n)

C'est ce que je pense mais est ce que ma modélisation est correcte ^^ ?

[eledys]

Personne ne peut m'aider :'( ?

[BiancoAngelo]

Salut ! J'avais un problème de PC, désolé...

Effectivement, tout ce que tu as écrit Robic, je l'ai testé au brouillon, et ce n'était pas convaincant... Les coefficients binomiaux ne se simplifient pas de façon évidente.

Néanmoins, il faut essayer de comprendre ce que signifie la loi B(k,p).
C'est le comptage des succès (ici, on choisit le succès : piocher la boule i ou la boule j).

Il faut donc calculer vu qu'on ne peut pas piocher deux boules en même temps.

Logiquement, vu qu'il y a remise, il y a indépendance.

Et donc, on suit bien ici la loi B(k, 2/n).

Les chemins empruntés sont parfois rebutants en proba :ptdr: et pas qu'en proba :ptdr: :ptdr:

[Robic]

OK, j'ai compris, et c'est très intéressant :

- Propriété : la somme de deux variables aléatoires indépendantes de loi binomiale B(a,p) et B(b,p) suit une loi binomiale B(a+b,p).
- Xi et Xj suivent B(k,1/n).
- Si Xi et Xj étaient indépendantes, leur somme suivrait la loi B(2k, 1/n) - c'est ce que tu avais proposé avant-hier soir en te doutant que ce n'était pas ça.
- Mais elles ne sont pas indépendantes ! Donc on ne peut pas utiliser la propriété.
- Il faut revenir à l'interprétation en terme d'expérience de Bernoulli (succès/échec), comme tu l'as fait, pour trouver la bonne loi : B(k, 2/n). Et c'était tout simple !

[BiancoAngelo]

Tu n'es pas d'accord que :

P(Xi = k et Xj = k) = 0
P(Xi = k) > 0
P(Xj = k) > 0

?


Il y a indépendance de quoi ? Des tirages, oui. Mais là on veut l'indépendance de deux variables aléatoires. Pour moi ta méthode (« logiquement ceci cela ») n'est pas la bonne, la bonne est de vérifier la définition : est-ce que P(Xi=p et Xj=q) est égal au produit P(Xi=p) par P(Xj=q) ?

Piocher la boule i ou la boule j, ce n'est pas piocher la boule i et la boule j. Or pour que Xi + Xj = un nombre donné, il faut piocher la boule i et la boule j. C'est d'ailleurs là qu'intervient l'indépendance, qui transforme le "et" en un produit.

P(Xi = k et Xj = k) = 0 : je ne trouve pas cela très utile.
P(Xi = k) > 0 et P(Xj = k) > 0 : je ne vois pas trop pourquoi tu dis ça.

Indépendance des tirages, oui.
Quand je dis logiquement, c'est pas un mot "astrologique", c'est un vrai mot mathématique. C'est une autre façon de dire "DONC", plus jolie.
Ce que j'ai dit, c'est :
On ne peut tirer deux boules à la fois. Ce qui donne p(I inter J) = 0 sur un tirage.
J'ai dit que comme il y a remise, alors il y a indépendance entre chaque tirage.

Les conditions sont réunies pour appliquer la loi binomiale pour l'événement "Je tire une boule I ou J" de probabilité 2/n et k fois.

Moi, je ne suis pas un pro de la proba, mais j'estime ne pas raconter n'importe quoi, ni même parler de façon "non mathématique" lol.

J'n'annonce pas un résultat au hasard, sans jeu de mots :ptdr:

[Robic]

Attends que je change mon message avant de répondre !!!!!
Mon message : Dernière modification par Robic Aujourd'hui à 19h03.
Le tien : Aujourd'hui, 19h12.
Comment ça se fait que tu as vu l'ancienne version ?...

Alors que j'avais tapé cette première réponse, j'ai soudain compris ce que tu voulais dire ! D'où ma réponse définitive, que tu n'as pas eu le temps de voir...

(Quand tu parlais d'indépendance, je croyais que tu parlais encore de Xi et Xj, vu que c'était le sujet de conversation avant. C'est pour ça que dans un premier temps je n'avais pas compris.)

[BiancoAngelo]

Attends que je change mon message avant de répondre !!!!!

Alors que j'avais tapé cette première réponse, j'ai soudain compris ce que tu voulais dire ! D'où ma réponse définitive, que tu n'as pas eu le temps de voir...

(Quand tu parlais d'indépendance, je croyais que tu parlais encore de Xi et Xj, vu que c'était le sujet de conversation avant. C'est pour ça que dans un premier temps je n'avais pas compris.)

Je viens de voir haha, pas de problèmé ! :ptdr: :zen:

[Robic]

Bon, on peut poursuivre...

le début de la Partie Deux est plutôt simple à l'exception de la première question que je n'ai pas trouvée

Dans la première question on étudie Z1 et Z2, je trouve que c'est la question la plus simple du devoir. C'est vraiment celle qui te pose problème ?
- Quelles sont les valeurs possibles de Z1, c'est-à-dire du nombre de numéros différents obtenus avec 1 tirage ?
- Quelles sont les valeurs possibles de Z2, c'est-à-dire du nombre de numéros différents obtenus avec 2 tirages ?

Ensuite on calcule les P(Z1=x) et P(Z2=x) pour ces valeurs, c'est très simple. Par exemple Z1 ne peut prendre qu'une seule valeur, 1, donc sa loi de probabilité est décrite par P(Z1=1) = 1 et on a E(Z1) = 1.

a) P(Zk=1) = n/n^k

Moi aussi.

P(Zk=k) = ( n!/(n-k)! ) / n^k

Si k>n, la probabilité est nulle. Je pense qu'il faut le signaler car l'énoncé suppose juste k>=1.
Si k varie entre 1 et n, je trouve pareil que toi.

Du coup je ne regarde pas le 2)b), mais probablement qu'il va servir...

c) et la je bloque totalement !

J'ai commencé à écrire l'expression de l'espérance de gauche et celle de droite, et je ne vois pas trop le lien (j'ai des l² qui m'embêtent...) Je soupçonne qu'il faut reconnaître E(Zk) par changement d'indice, mais ça a l'air plus compliqué.

[eledys]

Merci beaucoup pour toute ces réponses Et pas de soucis pour tes problème d'ordi BiancoAngelo c'est vraiment sympa de m'aider ! du coup ma "modélisation' était bien bonne quand on réfléchit sous forme d'une seule expérience de Bernoulli sa donne bien B(k,2/n) !

Dans la première question on étudie Z1 et Z2, je trouve que c'est la question la plus simple du devoir. C'est vraiment celle qui te pose problème ?

Oui je sais qu'elle est simple mais je me mélange les pinceaux avec les variable et les lois ^^
Z1 a pour seule valeur possible 1 puisque sur un tirage on pioche forcément un numéro et qu'il unique donc distinct
Pour Z2 les valeurs possibles sont 1 et 2

P(Z1=1)=1
P(Z2=1)=1/n
P(Z2=2)=( 2(n-1) )/n

Pour la première du coup je dirais une loi uniforme U([1,1])
Mais pour la seconde j'ai du mal à trouver une loi qui colle :/

EDTI :

Si k>n, la probabilité est nulle

Tout à fait c'est le genre de détails que j'ai tendance à oublier ^^ !

[Robic]

Ah, j'ai compris ! La difficulté n'était pas de calculer les probabilités, mais de trouver le nom de la loi qui colle avec.

En fait, quand on te demande une loi, ce n'est pas obligatoirement une loi bien connue avec un nom. Par définition, tu as décrit une loi lorsque tu as explicité tous les P(X=k) possibles. Ici, il suffit que tu écrives un petit tableau avec les valeurs que tu viens de trouver.

(Pour P(Z2=2), je trouve 1-1/n. D'ailleurs ça permet d'obtenir E(Z2) = 2-1/n, qui est compatible avec la relation de récurrence trouvée dans la question c).)

[BiancoAngelo]

Ah, j'ai compris ! La difficulté n'était pas de calculer les probabilités, mais de trouver le nom de la loi qui colle avec.

En fait, quand on te demande une loi, ce n'est pas obligatoirement une loi bien connue avec un nom. Par définition, tu as décrit une loi lorsque tu as explicité tous les P(X=k) possibles. Ici, il suffit que tu écrives un petit tableau avec les valeurs que tu viens de trouver.

(Pour P(Z2=2), je trouve 1-1/n. D'ailleurs ça permet d'obtenir E(Z2) = 2-1/n, qui est compatible avec la relation de récurrence trouvée dans la question c).)

Loi uniforme ? C'est bizarre de parler de loi continue alors qu'on est en probabilités discrètes ici !

[eledys]

Ah, j'ai compris ! La difficulté n'était pas de calculer les probabilités, mais de trouver le nom de la loi qui colle avec.

En fait, quand on te demande une loi, ce n'est pas obligatoirement une loi bien connue avec un nom. Par définition, tu as décrit une loi lorsque tu as explicité tous les P(X=k) possibles. Ici, il suffit que tu écrives un petit tableau avec les valeurs que tu viens de trouver.

(Pour P(Z2=2), je trouve 1-1/n. D'ailleurs ça permet d'obtenir E(Z2) = 2-1/n, qui est compatible avec la relation de récurrence trouvée dans la question c).)

:mur: Quel abruti ! En plus j'avais déjà fait l'erreur en cours ^^ merci donc j'ai bien compris la question, pour mon résultat j'ai fait une erreur je trouve (n(n-1))/n c'est a dire 1-(1/n) comme toi !

Loi uniforme ? C'est bizarre de parler de loi continue alors qu'on est en probabilités discrètes ici !

Du coup pas besoin de ma loi uniforme bizarre j'ai juste besoin de dire P(Z1=1)=1 puisque qu'en 0 sa n'existe pas, on est obligé de tirer quelque chose ! Dois je rajouter quand même P(Z1=0)=0 ?

[BiancoAngelo]

:mur: Quel abruti ! En plus j'avais déjà fait l'erreur en cours ^^ merci donc j'ai bien compris la question, pour mon résultat j'ai fait une erreur je trouve (n(n-1))/n c'est a dire 1-(1/n) comme toi !


Du coup pas besoin de ma loi uniforme bizarre j'ai juste besoin de dire P(Z1=1)=1 puisque qu'en 0 sa n'existe pas, on est obligé de tirer quelque chose ! Dois je rajouter quand même P(Z1=0)=0 ?

A partir du moment où tu as donné pour ta variable un ensemble de cas disjoints où la somme des probas fait 1, pas besoin de dire tous ceux où ça fait 0.

Sinon, pour avoir capté plus tôt que t'avais fait une erreur pour Z2, vérifie si ton résultat est bien compris entre 0 et 1, si c'est pas le cas, c'est sûr que qu'il y a un hic ! :we:

[Robic]

eledys : pour Z1, tu fais comme dans le cas général, tu regardes d'abord quelles sont les valeurs possibles. Ici, c'est l'ensemble {1}. Et seulement ensuite, tu calcules les probabilités associées aux valeurs possibles (penses-y pour la rédaction : si tu te lances dans des calculs avant d'avoir réfléchi sur les valeurs possibles, il y a risque de perdre des points - comme pour P(Zk=k) pour lequel il faut d'abord signaler ce qui se passe lorsque k>n). Bref, le tableau décrivant la loi de Z1 ne doit contenir qu'une colonne : celle du 1.

[eledys]

merci pour vos réponses :) du coup j'ai bien compris ce qu'il fallait faire quand on nous dit de donner la loi ! C'était quand même bête d 'arriver à calculer les proba des question d'après et de pas savoir donner la loi de la variable ^^

[eledys]

et du coup quelqu'un a trouvé pour la question c :) ?

[BiancoAngelo]

et du coup quelqu'un a trouvé pour la question c ?

Hello !

Alors, il faut simplement bien écrire le calcul de l'espérance.

On a

Ensuite on utilise la question d'avant :



Ensuite on casse en deux sommes en changeant l'indice de la deuxième en "rajoutant 1"



avec

On développe le produit de la deuxième somme :



sachant que (faut faire gaffe aux indices) et , c'est pour ça qu'on part bien de 1 jusque k+1 sans problème.

On peut alors simplifier les termes en et on obtient :



Quand l vaut k+1, les termes valent 0 comme écrit au dessus, donc :



Et la première somme est bien l'espérance et la deuxième, la somme de toutes les probas... donc (sachant que ), on a :



Et voilà ! Héhé :zen:

Pour ne pas se paumer, fallait éviter d'écrire la somme jusque n (chose que j'avais faite d'abord). Et bien veiller aux indices... Et ne pas se tromper dans la formule de l'espérance (comme je l'ai fait en commençant en oubliant de multiplier par :mur: ).

Voilà !

[zygomatique]

salut

suit la loi binomiale

pour tout p < k : sachant suit la loi binomiale

donc



reste plus qu'à ... :ptdr: