Exercice probabilité Prepa ECS

[dark7rider]

SAlut à tous!
Alors voila, je bloque sur un exo de proba, qui pourtant à l'air tout con!
Je vous donne l'intitulé
ON dispose d'une unre contenant a boules blanches et b boules noires;
1.montrer que sigma(variant de k=A à B) de A parmi k vaut A+1 parmis B+1.
Ca j'ai réussi, c'est assez simple avec la formul de pascal.

2.ON effectue dans l'urne n tirages avec remise. Si aucune boule blanche est tirée, on pose X:=0. Sinon, on note X le numéro de tirage de la PREMIERE boule blanche.

a)Quel est l'ensemble X(omega) des valeurs prises par X.
J'ai répondu assez logiquement (o,1,2,...,n) puisqu'on procède avec remise

b)Calculer la loi de X. Vérifier que la somme des probas de [X=k] à la valeur attendue.

C'est là que je bloque un peu, pour la loi de X je toruve un truc bizarre...
Déja, pour X=0, la probabilité vaut (b/(a+b))^n puisqu'il ne faut tirer que des boules noires (et encore une fois, on tire avc remise)
Ensuite, pour le reste, j'avais pensé à cette formule : p[X=k]=(b/(a+b))^(k-1) x (a/(a+b)) car il faut rier des boules noires aux k-1 premiers tirages puis, au Kieme, tirer une blanche.

Par contre, je galère un peu pour prouver que la somme de tout cela vaut un...
J'obtiens sigma de ce que je viens de montrer (k allant de 1 à n) +
(b/(a+b))^n
Mais là je suis bloqué, j'ai essayé de me servir de la somme des termes d'une suite géométrique pour le sigma et au final, j'obtiens : (a/(a+b)) fois [(b/(a+b))^n - 1]/[(b/(a+b)) - 1] +(b/(a+b))n


L'expression assez longue (le produit) je l'ai obtenu en faisant la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme (a/(a+b)) et de raison (b/(a+b)) (j'ai du changer l'indice dans la somme pour bien obtenir Un=Uo x q^n)

Voila.
Merci d'avance à celui qui pourra m'aider!
Bonne année !!

[dark7rider]

personne n'a une petite idée?

[XENSECP]

Humm... je vais voir ça taleur, mais je dirais qu'il faut utiliser la réponse à la question 1 ^^

[dark7rider]

ouais jpense bien, mais jvois pas trop comment... Je pense que ma formule pour la loi de X doit etre fausse, ou bien il doit y avoir un moyen plus simple de voir la chose

[fatal_error]

Salut,


On tire k-1 fois la boule noire puis une boule blanche

Apres série géométrique.
Im semble que ca s'appele des épreuves de bernouilli en posant et

[dark7rider]

Bon, j'ai réussi cette question, mais maintenant je bloque pour calculer l'espereance et donc forcément la variance.
En me servant de la formule E(X)= sigma des k x p[X=k] je n'arrive à rien...

[fatal_error]

remarque que

[fatal_error]

Une généralisation, c'est avec les séries génératrices en posant

On voit que
Il reste plus qu'a identifier
On calcule alors g(z) qu'on dérive après :


Sauf erreur

[fatal_error]

Une généralisation, c'est avec les séries génératrices en posant

On voit que
Il reste plus qu'a identifier
On calcule alors g(z) qu'on dérive après :
pour simplifier, je pose
On a alors


On a alors

Sauf erreur bis

[dark7rider]

fatal error, merci de ta réponse mais je ne vois pas comment tu passes de (p/q) sigma (zq)^k à pz x sigma de (zq)^k et je ne comprend ps non plus comment tu passes à l'étape suivant. Parceque pour la somme des zq à la puissance k, tu prends la formule 1-(zq)^n+1 sur 1-(zq) mais comme là on a du plus linfini je ne sais pas comment faire...
Je ne suis qu'un pauvre prépa ecs, pas un maths sup... lol

[fatal_error]

et

car qz<1

[dark7rider]

aaa daccord merci beaucoup, il y aavait juste une petite faute de frappe avec le pz au lieu de qz ;)

[dark7rider]

Dernière question fatal error, jveux pas faire mon boulet mais bon...
Quand tu calcules g'(1), la somme va de O )à plus l'inf mais pour l'esperance c'est que de 0 à n, donc est-ce que les termes de la somme qui valent plus de n sont égal à O ou bien ils sont indéfinis et dans ce cas, l'écriture n'est pas très juste , si?

[dark7rider]

ce ne sont pas les termes qui valent plus que n désolé, ce sont les termes où k vaut plus que n.

[fatal_error]

Pour les n termes,ben c'est (encore) une connerie de ma part.
Faut garder et pas simplifier par , car apres n, on considere P(X>n)=0
Ce qui donne alors


Mais bon, là je mets mes gants :marteau:

[dark7rider]

ok merci... l'expression est bien plus chiante que l'autre mais bon tant pis :) lol

[dark7rider]

fatal error, j'ai essayé un autre truc, dis moi si ca te semble correct :
j'ai gardé ton idée de g(z), seulement je fais allé la somme de 0 à n. Je trouve g(z) qui vaut (p/q) facteur de (1-(qz)^n))/(1-(qz))
je dérive et je calcule g'(1) et je trouve : pnq^n-2 sur (1-q)
voila.

[fatal_error]

Ben moi je garderais bien le qz.
Pour reprendre il s'agit de calculer

cad

Mais à dériver, ca donne un truc assez long, ca me parait suspect pour un exo

[dark7rider]

et t'aurais pas une petite idée pour trouver la variance? :p

[dark7rider]

J'ai un ptit problème pour la suite de l'exo :)
je seche sur une des questions suivantes. (on est dans le cas d'un tirage sans remises et on note Y la variable qui donne le numéro de sortie de la premiere boule blanche, il y a toujours b boules noires et a boules blanches)
On a prouvé que p[Y=k]= (a/k) x [(k-1) parmis b] / [k parmis (a+b)] = [(a-1) parmis(a+b-k)] / [a parmis(a+b)]
et je dois montrer que E(Y)= (a+b+1)/(a+1)
il y a cette indication: remarquer que pour tout k, k=(a+b+1)-(a+b-k+1)
J'écris donc la formule de l'esperance en remplacant k par la formule ci dessus. Je peux donc séparer en deux sommes. Dans la premiere je peux sortir a+b+1 j'obtiens :
E(Y) = (a+b+1)sigma de p[Y=k] - sigma de(a+b+1 -k) p[Y=k]

là, si je continue à simplifier, je vais me retrouvr avec E(Y)=E(Y)... donc je sais pas torp quoi faire