Etudes d'anneaux Z/nZ

[ArtyB]

Bonjour,

Toujours en arithmétique, quelques petites questions dont la réponse est incertaine pour moi.

1) Déterminer les inversibles de l'anneau Z/20Z
Ce sont tous les nombres k inférieurs à 20 et premiers ie: 1,3,5,7,9,11,13,17,19 ?

2)Calculer l'inverse de dans Z/20Z
Comme 9 et 20 sont premiers, on cherche u tel que:
est-ce correct ?

3) Soit l'ensemble des éléments. Montrer que cet ensemble est cyclique pour la multiplication, et en trouver un générateur.
Un groupe G est cyclique s'il existe x de G tel G=
Mais je ne vois pas trop comment appliquer cela ici concrètement.

4) Enoncer le théorème chinois et montrer que (Z/11Z)x(Z/7Z) est cyclique.
Le théorème chinois énonce que soient m et n deux entiers naturels non nuls, et f une application de Z dans Z/mZ xZ/nZ définie pour tout entier a par:
f(a)=(a+mZ,a+nZ),
alors f est un morphisme d'anneau de noyau l'idéal PPCM(m,n) et d'image formée des couples (a+mZ,b+nZ) tq PFCD(m,n)|b-a

Mais en quoi cela aide-t-il à prouver que le groupe est cyclique ?

5)(Z/11Z)x(Z/7Z) est il un corps ?

[remullen2000]

Bonsoir

Attention 5 n est pas inversible! Il faut être premier....avec 20!
Et non premier tout court!
En effet soit à premier avec 20 alors que dit le théorème de bezout?

2) oui donc 9u-1=20k il faut résoudre l équation diophantienne

[remullen2000]

3) il faut essayer d étudier les ordres des éléments et en trouver un qui a pour ordre l ordre du groupe!
Exemple: pour 3: 3 ;3^2=9 ;3^3=7;3^4=1

Donc 3 est d ordre 4, c est pas lui !

4) trouve une autre version du théorème chinois!
Z/nZxZ/mZ est isomorphe à Z/nmZ

Qui est cyclique

5) Z/77Z est il un corps?

[ArtyB]

1) Oups merci pour le 5 il est passé entre les mailles du filet.
Et c'est tout du coup ? Rien d'autre à dire pour les inverses ?

2) Comme 9 et 20 sont premiers on résout 9u-20k=1 qui admet au moins une solution d'après le th. de Bézout. On trouve une solution particulière(u,k) par Euclide:
(9,-4) car 9*9-4*20=1
Donc les solutions sont de la forme:
(9+20k,-4+9k) c'est la forme générale de l'inverse de

3)L'ordre étant défini comme le plus petit entier m tel que a^m=e e élément neutre avec e=1 ici, je ne comprends pas pourquoi 3 est d'ordre 4 3^4=81 et non 1

4)Autre version:
Si sont deux à deux premiers entre eux, alors en notant n le produit des n_i, l'application f à valeurs dans l'anneau produit:



qui à associe

est isomorphisme d'anneaux.
Celle-ci convient peut être mieux ?

Mais personnellement ce que je ferai c'est poser:
G1=Z/11Z
G2=Z/7Z
G=G1xG2 est le groupe additif Z/77Z car 7 et 11 sont premiers entre eux (PGCD(11,7)=1). G est cyclique d'ordre 11.

5) Z/nZ est un corps ssi n est premier or comme 77 n'est pas premier, Z/AAZ x Z/7Z=Z/77Z n'est pas un corps

[remullen2000]

3). 81=1 modulo 20

2). 9*9= 1 modulo 20

1) non sinon c est bon tous les autres sont premiers avec 20

4) voilà ! Donc Z/11ZxZ/7Z isomorphe à ...

[ArtyB]

2) Je ne comprends pas ce que tu as mis, que veux tu dire par 9*9=1 modulo 20 ?

3) Ah oui au temps pour moi on s'intéresse à la congruence modulo 20
Donc on cherche un élément a tel que c'est ça ?

4) Donc Z/11ZxZ/7Z est isomorphe à Z/77Z et ?

[ArtyB]

Pour la 4)
G1=Z/11Z
G2=Z/7Z
G1xG2 est isomorphe à G=Z/77Z+G1xG2 qui est le groupe additif Z/77Z car 7 et 11 sont premiers entre eux (PGCD(11,7)=1). G est cyclique d'ordre 11.

[sylvainc2]

La question 3 est un peu bizarre. Z/20Z* n'est pas cyclique donc on peut pas prouver qu'il l'est. Mais on peut prouver qu'il ne l'est pas. En fait seulement les Z/nZ* où n=2, p^k ou 2p^k où p>2 est premier sont cycliques. Donc 20=4*5 n'est pas de cette forme, mais 22=2*11 l'est.

L'ordre de ces groupes est donné par la fonction indicatrice d'Euler: phi(n). L'ordre d'un élément divise phi(n). Pour Z/20Z*, phi(20)=8 et les diviseurs de 8 autres que 1 et 8 sont 4 et 2. Donc pour tous les éléments a de Z/20Z* on teste si a^4=1 mod 20, si oui a n'est pas un générateur. Si non, on teste ensuite l'autre diviseur: si a^2 = 1 mod 20 alors a n'est pas générateur. S'il passe ces tests alors a est un générateur. Tu devrais trouver qu'aucun ne passe le test.

Par contre dans Z/22Z*, phi(22)=10, les diviseurs non triviaux de 10 sont 5 et 2. On teste par exemple: 7^5=21= -1 [22] ok. ensuite 7^2=5 [22] ok, donc le plus petit exposant est bien 10: 7^10=1[22] et 7 est un générateur de Z/22Z*. Tu peux vérifier que 7^i pour i=0 à 9 génère tous les éléments du groupe.

[ArtyB]

@sylvainc2
" En fait seulement les Z/nZ* où n=2, p^k ou 2p^k où p>2 est premier sont cycliques."
Pourquoi ça ?
Et je vois que tu écris Z/20Z* mais tu prends bien (Z/20Z)* n'est-ce pas ?