Anneaux, corps

[capitaine nuggets]

4) Ensuite, on demande de montrer que est le plus petit sous-anneau de contenant .

J'ai pensé montrer l'égalité ensembliste suivante :



Mais je ne vois pas trop comment procéder...

[barbu23]

Salut :
Tu as montré plus haut : est un anneau.
En plus :
et , donc, .
Donc, est un anneau qui contient et .
Pour montrer que c'est le plus petit, tu montres que si un anneau tel que : , alors, on a nécessairement : .
Cordialement. :happy3:

[capitaine nuggets]

Salut :
Tu as montré plus haut : est un anneau.
En plus :
et , donc, .
Donc, est un anneau qui contient et .
Pour montrer que c'est le plus petit, tu montres que si un anneau tel que : , alors, on a nécessairement : .
Cordialement. :happy3:

Je ne vois pas en quoi cela me dis que est le plus petit anneau de contenant ...

[Ben314]

Tu as déjà montré que est un anneau et, évidement cet anneau contient .
Reste à montrer que c'est le plus petit, c'est à dire que, si est un sous anneau de contenant alors , c'est à dire que, pour tout , .

C'est assez évident non ? (en supposant que les sous anneaux considérés sont tous supposés unitaires)

[capitaine nuggets]

Tu as déjà montré que est un anneau et, évidement cet anneau contient .
Reste à montrer que c'est le plus petit, c'est à dire que, si est un sous anneau de contenant alors , c'est à dire que, pour tout , .

C'est assez évident non ? (en supposant que les sous anneaux considérés sont tous supposés unitaires)

Evident, je sais pas, j'ai du mal à voir pourquoi ça justifie ce qu'on veut montrer...
Je ne sais pas ce qu'est un anneau unitaire...

[Ben314]

Evident, je sais pas, j'ai du mal à voir pourquoi ça justifie ce qu'on veut montrer...
Je ne sais pas ce qu'est un anneau unitaire...

Pour le "anneau unitaire", ça veut dire que l'anneau en question contient un élément neutre pour la multiplication.
A mon avis, tout les anneaux et sous-anneaux que tu manipule sont unitaires (vérifie dans les définitions de ton cours pour voir si un anneau doit contenir ton cours pour voir si un anneau doit forcément contenir un neutre pour x)

Après, "l'idée" (si on peut dire...) de la preuve, c'est que pour montrer que "TRUC est le plus petit élément qui vérifie ???", ben en général, on montre que :
1) TRUC vérifie effectivement ???
2) Tout élément B vérifiant ??? est plus grand que TRUC.

[capitaine nuggets]

Pour le "anneau unitaire", ça veut dire que l'anneau en question contient un élément neutre pour la multiplication.
A mon avis, tout les anneaux et sous-anneaux que tu manipule sont unitaires (vérifie dans les définitions de ton cours pour voir si un anneau doit contenir ton cours pour voir si un anneau doit forcément contenir un neutre pour x)

Alor oui, pour moi, les anneaux seront supposés unitaires par défaut :++:

Après, "l'idée" (si on peut dire...) de la preuve, c'est que pour montrer que "TRUC est le plus petit élément qui vérifie ???", ben en général, on montre que :
1) TRUC vérifie effectivement ???
2) Tout élément B vérifiant ??? est plus grand que TRUC.

Ok d'accord.

Puisqu'on parle d'anneaux, en faisant des recherches, je suis tombé sur l'affirmation suivante : "tout élément d'un anneau fini est nul, ou inversible, ou un diviseur de zéro". N'étant pas vraiment convaincu par cet énoncé, je me suis empressé de voir la preuve et malheureusement, celle-ci n'est pas complète : il y est seulement indiqué d'utiliser l'application .

Pourriez-vous me donner un lien où je pourrais trouver un "arbre généalogique" des structures algébriques des plus faibles au plus fortes, svp ? (je n'en trouve pas).

[Ben314]

Pour "l'arbre généalogique", je sais pas trop si tu trouvera ça quelque part.
La "base" on va dire, c'est "Groupes, Anneaux, Corps, Espaces Vectoriels (voire Modules)"
Aprés, on peut accoler "fini" et/ou "commutatif" et... des tas d'autres choses...

Mais a mon avis, c'est un peu con un "arbre" : chaque catégorie (et sous catégories) possèdes ces "méthodes propres" et ces "questions intéressantes" qui ne sont pas les mêmes que les autres. Donc on n'apprend pas à manipuler "tout en même temps", mais à les manipuler les unes après les autres.

Concernant ton truc sur les anneaux finis, ce n'est effectivement pas super compliqué et ça repose sur un truc qu'on utilise en permanence sur les ensemble finis : une application d'un ensemble fini X dans lui même (ou dans un autre ensemble de même cardinal) est injective ssi elle est surjective ssi elle est bijective (j'espère que tu sais que c'est faux pour les ensembles infinis...)

Donc ici, pour a fixé non nul dans ton anneau, tu considère x->ax.
- Soit elle est surjective donc, en particulier, il existe un x tel que ax=1 et donc a est inversible.
- Soit elle ne l'est pas donc elle n'est pas non plus injective (c'est là qu'il faut "A fini") et il existe deux éléments distincts x et x' tels que ax=ax'. Donc a(x-x')=0 et, comme x-x' est non nul, cela montre que a est un diviseur de zéro.
CONCLUSION : un anneau fini intègre est forcément un corps.

[capitaine nuggets]

Pour "l'arbre généalogique", je sais pas trop si tu trouvera ça quelque part.
La "base" on va dire, c'est "Groupes, Anneaux, Corps, Espaces Vectoriels (voire Modules)"
Aprés, on peut accoler "fini" et/ou "commutatif" et... des tas d'autres choses...

Mais a mon avis, c'est un peu con un "arbre" : chaque catégorie (et sous catégories) possèdes ces "méthodes propres" et ces "questions intéressantes" qui ne sont pas les mêmes que les autres. Donc on n'apprend pas à manipuler "tout en même temps", mais à les manipuler les unes après les autres.

Concernant ton truc sur les anneaux finis, ce n'est effectivement pas super compliqué et ça repose sur un truc qu'on utilise en permanence sur les ensemble finis : une application d'un ensemble fini X dans lui même (ou dans un autre ensemble de même cardinal) est injective ssi elle est surjective ssi elle est bijective (j'espère que tu sais que c'est faux pour les ensembles infinis...)

Donc ici, pour a fixé non nul dans ton anneau, tu considère x->ax.
- Soit elle est surjective donc, en particulier, il existe un x tel que ax=1 et donc a est inversible.
- Soit elle ne l'est pas donc elle n'est pas non plus injective (c'est là qu'il faut "A fini") et il existe deux éléments distincts x et x' tels que ax=ax'. Donc a(x-x')=0 et, comme x-x' est non nul, cela montre que a est un diviseur de zéro.
CONCLUSION : un anneau fini intègre est forcément un corps.

D'accord ! C'est fascinant tout ça !
Du coup, si on se place dans par exemple, et qu'on considère l'élément 2, alors 2 est non nul, n'est pas un diviseur de zéro et n'admet pas d'inverse.
Ai-je bon comme contre-exemple pour un anneau infini ?

[Ben314]

D'accord ! C'est fascinant tout ça !
Du coup, si on se place dans par exemple, et qu'on considère l'élément 2, alors 2 est non nul, n'est pas un diviseur de zéro et n'admet pas d'inverse.
Ai-je bon comme contre-exemple pour un anneau infini ?

Tout à fait :king2:
(a la limite, t'aurais pris directement Z comme anneau pour ton contre exemple, ça marchais aussi, mais... soyons fou...)

P.S. Tu as démontré proprement que 2 n'avait pas d'inverse dans ?

[capitaine nuggets]

Donc ici, pour a fixé non nul dans ton anneau, tu considère x->ax.
- Soit elle est surjective donc, en particulier, il existe un x tel que ax=1 et donc a est inversible.

Ce que tu écrit là ne montre-t-il pas uniquement que admet un inverse à droite ?
Le fait que ce soit inversible à gauche est-il évident ?

Je dis ça parce que selon moi, un élément est inversible ssi il existe tel que , non ?

Ben 2 admet un inverse dans si et seulement s'il existe tel que 2.z=z.2=1 (on peut enlever z.2=1 car l'anneau est commutatif ?).

P.S. Tu as démontré proprement que 2 n'avait pas d'inverse dans ?

Du coup, je repars d'où j'étais parti :
En posant , j'ai :


- Si alors ce qui est impossible ;
- Si alors ce qui est également impossible.

[capitaine nuggets]

Ben 2 admet un inverse dans si et seulement s'il existe tel que 2.z=z.2=1 (on peut enlever z.2=1 car l'anneau est commutatif ?).

P.S. Tu as démontré proprement que 2 n'avait pas d'inverse dans ?

Du coup, je repars d'où j'étais parti :
En posant , j'ai :


- Si alors ce qui est impossible ;
- Si alors ce qui est également impossible.

[Ben314]

Effectivement, j'ai un peu simplifié en supposant l'anneau commutatif, ce que j'aurais du écrire

Terminons la preuve.
On a donc un x tel que ax=1. On considère alors y->ya.
Elle est injective car, si ya=y'a alors y=y(ax)=(ya)x=(y'a)x=y'(ax)=y' donc elle est bijective et il existe y tel que ya=1.
De plus y=y(ax)=(ya)x=x.

Et on peut en conclure qu'un anneau fini intègre est... forcément commutatif... :dingue2:

[capitaine nuggets]

Terminons la preuve.

On est tjrs dans le cas où y->ya est surjective ?
(tu m'as un peu perdu :ptdr: )

[Ben314]

En posant , j'ai :


- Si alors ce qui est impossible ;
- Si alors ce qui est également impossible.

C'est bon, mais tu cherche bien compliqué :
par unicité de l'écriture.

[capitaine nuggets]

Très bien, c'est clair :+++:

Terminons la preuve.

On est tjrs dans le cas où y->ya est surjective ?
(tu m'as un peu perdu :ptdr: )

[Ben314]

Très bien, c'est clair :+++:

On est tjrs dans le cas où y->ya est surjective ?
(tu m'as un peu perdu :ptdr: )

Oui, j'ai uniquement rajouté le "bout" qui manque à la fin du cas x->ax surjective.

[capitaine nuggets]

Oui, j'ai uniquement rajouté le "bout" qui manque à la fin du cas x->ax surjective.

ah ok :+++:

[capitaine nuggets]

J'avais une dernière question : qu'est-ce qu'un sous-corps (d'un corps je suppose) ?

[Ben314]

J'avais une dernière question : qu'est-ce qu'un sous-corps (d'un corps je suppose) ?

tu suppose bien.... :zen:
Un corps K, c'est anneau tel que tout élément non nul admet un inverse.
Un sous corps K' de K, c'est un sous anneau K' de K tel que l'inverse de tout élément non nul de K' soit lui même dans K'.

Et si tu veut un peu "prolonger" ton exercice, tu peut reprendre toutes les question depuis le début (y compris l'unicité tout au début) en remplaçant les par des et tu rajoute les questions "montrer que est un corps" (et évidement tu montre en fait que c'est un sous corps de )