Anneaux, corps

[capitaine nuggets]

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant :

On a ne contenant aucun facteurs carrés (en particulier, on a ).
Si alors désigne l'unique réel tel que ;
Si alors .

1°) On me demande de montrer que est un anneau, puis montrer que tout élément de s'écrit de manière unique sous la forme .

Je sais que est un anneau et que , donc je montre qu'en fait , muni des lois induites par celles de , est un sous-anneau de .

Pour montrer l'unicité de l'écriture, j'avais pensé à deux choses :
- soit raisonner par l'absurde ;
- soit chercher une bijection entre et où ou suivant le signe de .

Merci d'avance pour votre aide :+++:

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

Excuse moi stp : Que signifie : " ... ne contenant aucun facteur carrée" ?

[capitaine nuggets]

Bonsoir,

Bonsoir, :happy3:

Excuse moi stp : Que signifie : " ... ne contenant aucun facteur carrée" ?

A mon avis cela signifie que si l'on écrit la décomposition de en produit de puissances de nombres premiers, il n'y pas de puissances paires où encore, on ne veut que pas que puisse se simplifier sous la forme avec

[Ben314]

Salut,
Pour montrer l'unicité, je ne comprend pas bien en quoi ta "deuxième méthode" permettrait de l'obtenir.
Et concernant la première méthode, tu peut si tu veut le faire par l'absurde, mais ce n'est pas indispensable :

Si tu le fait "par l'absurde", tu va commencer en disant :
Supposons que où .
et, après quelque calculs, tu devrais obtenir une contradiction.

A la place, tu pourrait tout aussi bien commencer ta preuve par :
Supposons que
et, après quelques calculs en déduire qu'on a forcément et ce qui prouverais l'unicité.

Donc a mon avis, la question, c'est plutôt de se demander ce qu'on va écrire après le ...
Indication : Il va faloir se servir quelque part de l'hypothèse "d sans facteur carrés" vu qu, si par exemple , c'est faux :

[barbu23]

Pour l'unicité, à mon avis, il faut supposer deux écritures pour telles que : et montrer que : et en utilisant je pense ce que je n'arrive pas à comprendre : ' ... ne contenant pas de facteurs carrées".
Cordialement. :happy3:

[capitaine nuggets]

Salut,
Pour montrer l'unicité, je ne comprend pas bien en quoi ta "deuxième méthode" permettrait de l'obtenir.
Et concernant la première méthode, tu peut si tu veut le faire par l'absurde, mais ce n'est pas indispensable :

Si tu le fait "par l'absurde", tu va commencer en disant :
Supposons que où .
et, après quelque calculs, tu devrais obtenir une contradiction.

A la place, tu pourrait tout aussi bien commencer ta preuve par :
Supposons que
et, après quelques calculs en déduire qu'on a forcément et ce qui prouverais l'unicité.

Donc a mon avis, la question, c'est plutôt de se demander ce qu'on va écrire après le ...
Indication : Il va faloir se servir quelque part de l'hypothèse "d sans facteur carrés" vu qu, si par exemple , c'est faux :

En adoptant le résultat par l'absurde, je suis arrivé au fait que , qui entre entre contradiction avec le fait que est sans facteurs carrés.
Ai-je bon ?

[Ben314]

(1) A mon avis cela signifie que si l'on écrit la décomposition de en produit de puissances de nombres premiers, il n'y pas de puissances paires
(2) on ne veut que pas que puisse se simplifier sous la forme avec

(2) : OUI
(1) : NON Par exemple (qui n'a que des puissance impaire) est "avec facteurs carrés" : on peut factoriser dans : .
Être "sans facteurs carrés", ça veut dire que dans la décomposition en produit de puissances de nombres premiers, les exposants (non nuls) sont tous des 1.

[Ben314]

En adoptant le résultat par l'absurde, je suis arrivé au fait que , qui entre entre contradiction avec le fait que est sans facteurs carrés.
Ai-je bon ?

Oui, c'est exactement ça.
A la limite, écrit une ou deux ligne en commençant par tout élever au carré pour bien expliquer qu'une telle équation implique que d est le carré d'un entier.

[capitaine nuggets]

(2) : OUI
(1) : NON Par exemple (qui n'a que des puissance impaire) est "avec facteurs carrés" : on peut factoriser dans : .
Être "sans facteurs carrés", ça veut dire que dans la décomposition en produit de puissances de nombres premiers, les exposants (non nuls) sont tous des 1.

Ok :+++:

Oui, c'est exactement ça.
A la limite, écrit une ou deux ligne en commençant par tout élever au carré pour bien expliquer qu'une telle équation implique que d est le carré d'un entier.

Si j'élève au carré, j'obtiens qui n'est à priori pas un entier, j'ai râté quelque chose ?

[Ben314]

Si j'élève au carré, j'obtiens qui n'est à priori pas un entier, j'ai râté quelque chose ?

Non, pas vraiment (ne pas oublier que, pour en arriver là, tu as du supposer au minimum que et donc qu'il faut obtenir une contradiction)
Perso, je continuerais en écrivant que qui est une égalité ne portant que sur des entier positifs (pour qu'une telle égalité soit vrai, il faut évidement que soit positif)
Et là, si tu regarde les décomposition en facteur premier de et de qui ne contiennent que des exposant pairs, tu en déduit que la décomposition de ne contient elle aussi que des exposants pairs et donc que est le carré d'un entier.

[capitaine nuggets]

Non, pas vraiment (ne pas oublier que, pour en arriver là, tu as du supposer au minimum que et donc qu'il faut obtenir une contradiction)
Perso, je continuerais en écrivant que qui est une égalité ne portant que sur des entier positifs (pour qu'une telle égalité soit vrai, il faut évidement que soit positif)
Et là, si tu regarde les décomposition en facteur premier de et de qui ne contiennent que des exposant pairs, tu en déduit que la décomposition de ne contient elle aussi que des exposants pairs et donc que est le carré d'un entier.

Ok, je la garde en tête au cas où :++:
2°) On suppose à présent que . On me demande de montrer que .
voici ce à quoi j'ai pensé :
On sait que désigne l'ensemble des polynômes de la forme avec .
Donc je me suis dit que si on pose , alors il faudrait montrer que pour tout , il existe deux entiers tels que .
Est-ce correct ? Y a-t-il plus rapide/simple ?

[Ben314]

Oui, c'est bien ce qu'il faut faire, mais, en fait, dés que tu as montré que, avec , c'est fini (par simple récurrence)

P.S. Si l'énoncé ne le suggère pas déjà, je te conseillerais bien de poser sinon, tu va le recopier un paquet de fois.
En plus, ça te permet de "gruger" dans les calculs :

et tu as la formule souhaitée ( est bien entier vu que )

[zygomatique]

En adoptant le résultat par l'absurde, je suis arrivé au fait que , qui entre entre contradiction avec le fait que est sans facteurs carrés.
Ai-je bon ?

salut

diviser par un nombre pose toujours problème ... surtout quand on va se rendre compte à postériori ou même que l'énoncé permet de le dire (unicité) qu'on va diviser par 0 ....

d'autre part il ne me semble pas nécessaire d'élever au carré ...



a - a' est un entier

si d est sans facteur carré alors sa racine carrée n'est pas entière ou n'est pas réelle même (en considérant le cas complexe)

donc la seule condition pour que le second membre soit entier est .... ?

[capitaine nuggets]

a - a' est un entier

si d est sans facteur carré alors sa racine carrée n'est pas entière ou n'est pas réelle même (en considérant le cas complexe)

donc la seule condition pour que le second membre soit entier est .... ?

Il faut que b' - b=0 donc ainsi a' - a=0

En plus, ça te permet de "gruger" dans les calculs :

et tu as la formule souhaitée ( est bien entier vu que )

Ce qui m'amène à te poser une question : a-t-on encore si ?

2°)b) On me demande maintenant de montre, comme dans la question 1°), que tout élément de s'écrit de manière unique sous la forme .
Dois-je refaire le même raisonnement que pour la question 1°), où y a-t-il un moyen de le déduire à partir des questions précédentes ?

[capitaine nuggets]

a - a' est un entier

si d est sans facteur carré alors sa racine carrée n'est pas entière ou n'est pas réelle même (en considérant le cas complexe)

donc la seule condition pour que le second membre soit entier est .... ?

Il faut que b' - b=0 donc ainsi a' - a=0

[Ben314]

Ce qui m'amène à te poser une question : a-t-on encore si ?

Oui : si un complexe vérifie une relation de la forme avec alors une (mini) récurrence montre que tout les peuvent s'écrire sous cette forme.

2°)b) On me demande maintenant de montre, comme dans la question 1°), que tout élément de s'écrit de manière unique sous la forme .
Dois-je refaire le même raisonnement que pour la question 1°), où y a-t-il un moyen de le déduire à partir des questions précédentes ?

Tu peut effectivement utiliser la question 1)a) pour gagner un peu de temps :

Et, vu que maintenant les coeff. sont entier, tu peut utiliser la question précédente pour en déduire que et

[capitaine nuggets]

Oui : si un complexe vérifie une relation de la forme avec alors une (mini) récurrence montre que tout les peuvent s'écrire sous cette forme.Tu peut effectivement utiliser la question 1)a) pour gagner un peu de temps :

Et, vu que maintenant les coeff. sont entier, tu peut utiliser la question précédente pour en déduire que et

Ok, merci pour ces explications.

A la question 3°), on me demande si les anneaux et sont intègres ? sont des corps ?

Je pensais à dire que vu qu'ils sont deux sous-anneaux de qui est lui-même intègre, ils sont également intègre (ou alors si on ne peut pas échapper aux calculs, montrer que xy=0 implique x=0 ou y=0).
Je ne vois pas trop comment montrer que ce (ne) sont (pas) des corps.

[Ben314]

Pour "intègre", il n'y a effectivement aucun calcul (sous anneau de C => O.K.)

Et pour montrer que ce ne sont pas des corps, le seul truc qui peut déconner, c'est le passage à l'inverse.
Par exemple, pense tu que l'inverse de 2 (2 appartient évidement à ces anneaux) soit dedans ?

[capitaine nuggets]

Et pour montrer que ce ne sont pas des corps, le seul truc qui peut déconner, c'est le passage à l'inverse.

Heu, j'ai un trou de mémoire, mais un corps, c'est bien un anneau commutatif dont tous les éléments non nuls sont inversibles ?

Par exemple, pense tu que l'inverse de 2 (2 appartient évidement à ces anneaux) soit dedans ?

Ben 2 admet un inverse dans si et seulement s'il existe tel que 2.z=z.2=1 (on peut enlever z.2=1 car l'anneau est commutatif ?).
A priori, je ne pense pas que 2 soit inversible : si je pense avec les complexes à coefficients entiers ( donc), ça n'a pas l'air de marcher.

[Ben314]

(1) Heu, j'ai un trou de mémoire, mais un corps, c'est bien un anneau commutatif dont tous les éléments non nuls sont inversibles ?
(2)... ça n'a pas l'air de marcher.

(1) oui (enfin, pas forcément commutatif : il existe des corps non commutatif, mais là, vu qu'on a affaire à des parties de C...)
(2) oui : ce ne sont pas des corps.