Dans le cadre de l'étude des fonctions à deux variables, on peut dire que si le déterminant de la hessienne en un point critique donné est:
- >0 alors le point est un extremum et si la trace de la hessienne est positive c'est un minimum, si elle est négative c'est un maximum
- <0 alors c'est un point col (point selle), c'est un point critique qui n'est ni un maximum local, ni un minimum local
- =0 alors le point critique est dégénéré et on ne peut pas dire directement si c'est un extremum
Dans l'étude de la fonction f de R^2 sur R telle que:
On a le point P=(0,0) qui est un point critique et la Hessienne associée:
Et les valeurs propres de H(0,0) sont 8 et 0.
Donc le point critique P=(0,0) est dégénéré.
Comment prouver que ça n'est pas un extremum ? (question de l'énoncé)
Il faut procéder à une étude fine de la fonction, et (d'après mon cours) on peut s'intéresser au signe de
f(P+H)-f(P) où H=(h,k) voisin de P=(0,0)
seulement ici je ne vois pas bien l'intérêt car on a en fait:
f(0+h,0+k)-f(0,0)=f(h,k) puisque f(P)=0
et je suis un peu coincé, si quelqu'un a des idées ou des pistes pour m'aider s'il vous plaît
