Point critique

[nivéa]

bonjour à tous,

je suis sur un exercice et je n'arrive pas à trouver mon erreur.

Soit f(x,y)=

1) montrer que (0,0) , (,- ) , (- , )

Ce que je n'arrive pas à avoir c'est la puissance 4 de la racine, je m'obtient que la puissance 3.

Pourriez-vous m'aider à trouver ma faute.

Merci.

[leon1789]

1) montrer que (0,0) , (,- ) , (- , )

Heu, montrer que quoi ?

[nivéa]

Alors, ici le problème ce pose qu'il faut montrer que les trois points critique que j'ai cité en amont sont les seuls points critique de la fonction.

[Black Jack]

Condition nécessaire pour avoir des point critiques en (X ; Y) :

La dérivée première partielle de f(x,y) par rapport à x au point considéré = 0 et la dérivée première partielle de f(x,y) par rapport à y au même point = 0

En exprimant ces conditions, on obtient un système de 2 équations avec 3 couples solutions (et ce sont effectivement les couples donnés dans l'énoncé).

:zen:

[nivéa]

Condition nécessaire pour avoir des point critiques en (X ; Y) :

La dérivée première partielle de f(x,y) par rapport à x au point considéré = 0 et la dérivée première partielle de f(x,y) par rapport à y au même point = 0

En exprimant ces conditions, on obtient un système de 2 équations avec 3 couples solutions (et ce sont effectivement les couples donnés dans l'énoncé).

:zen:

Pourriez-vous me détailler vos calcules pour voir ou se situe mon erreur.
Merci.

[nivéa]

bonjour,

soit f(x,y)=


1) calcul des dérivées partielles:

df/dx=2x+3x²y^3 d²f/dx²=2+6xy^3

df/dy=2y+3y²x^3 d²f/dy²=2+6yx^3

d²f/dxdy=d²f/dydx= 9x²y²

[nivéa]

après avoir calculé les dérivées partielles, je cherche les points critiques de cette fonction:
premier cas y=0

(1):
(2):

donc : (1):2x=0 => x=y=0

deuxième cas y#0

(1):
(2):

d'où: (2):
=>
=>

[Doraki]

Pourquoi t'es passé de 2+3yx³ à 2+3x³ ?

[nivéa]

Pourquoi t'es passé de 2+3yx³ à 2+3x³ ?

car nous sommes dans le cas ou y#0:

donc, j'élimine tous les y, et c'est pour cela que je me retrouve avec l'expression suivantes qui est : 2+3x^3=0

je ne suis pas sur de moi, c'est pour cela que je demande!!

[nivéa]

après avoir calculé les dérivées partielles, je cherche les points critiques de cette fonction:
premier cas y=0

(1):
(2):

donc : (1):2x=0 => x=y=0

deuxième cas y#0

(1):
(2):

d'où: (2):
=>
=>

mon erreur de situe là:
2):
=>
=>[/quote]


je l'ai pu le constater grâce à un coup de main:

(1):
(2):

je considère x#0
(1):2+3xy^3=0 =>x=-2/3y^3

on remplace (1) dans (2):
La deuxième de vient :
y =0

Il est clair que y\neq0 car dans ce cas x sera aussi nul, écartons alors ce cas il nous reste l'autre partie :
2- =0
On réduit au même dénominateur :

Soit :
18y^8-8=0

On passe à la racine carrée
attention on prends pas la valeur négative -2/3 car y^4 est toujours positif.
Finalement on compose avec la racine quatrième on trouve :

ou
-

[nivéa]

je trouvé la solution de la matrice hessienne au point critique (0,0)

r=d²f/d²x t=d²f/d²y s=d²f/dxdy=d²f/dydx



je rappelle que la fonction
donc: r=2 t=2 et s=0



je détermine le déterminant de la matrice hessienne
soit:
donc: (2*2)>0
à part de ça, j"en déduis donc que la valeurs propres de la matrice hessienneest strictement postive de f en (0,0)et elle est définie positive donc (0,0) est un mini. local

[juve1897]

As tu fini de résoudre ton exercice ???

[nivéa]

Non, je n'arrive pas à trouver les deux solutions de la matrice hessienne avec les deux points critiques.

[juve1897]

Non, je n'arrive pas à trouver les deux solutions de la matrice hessienne avec les deux points critiques.

Je suis désolée je ne pourrais pas t'aider, je n'y connais pas grand chose.
Cependant, je pense que d'autre personne seront en mesure de te répondre.

J'espere que tu trouveras qqun pour t'aider .

[nivéa]

soit f(x,y)=

les points critique sont les suivants:


je n'arrive qu'à trouver la matrice au point (0,0)!!

y aurai t-il qqun pour me mettre sur la voix.

Merci.

[charlol]

Salut ,
Je ne vois pas non plus comment tu te débarasse du y dans 2+3yx³
si y€IR* y( 2+3yx³)=0 => 2+3yx³ =0 on est d'accord , mais après je pense que tu t'es trompé
Charlol

[Black Jack]

nivéa,

Ton message 10 est correct.

En (0;0), j'arrive aussi à un minimum de f(x,y)

Pour les 2 autres cas, j'arrive à rt - s² < 0
Et donc f(x,y) n'a ni minimum ni maximum en ces points.

:zen:

[nivéa]

nivéa,

Ton message 10 est correct.

En (0;0), j'arrive aussi à un minimum de f(x,y)

Pour les 2 autres cas, j'arrive à
Et donc f(x,y) n'a ni minimum ni maximum en ces points.

:zen:

Bonjour,

ce que j'aimerai savoir c'est comment vous vous y étiez pris pour trouver un . pourriez-vous détailler votre démarche, j'ai essayé mais je n'arrive pas à y aboutir.

Merci.

[Black Jack]

Sauf erreur on trouve:







Et pour les cas et
On arrive à

Vérifie et fais le calcul ...

:zen:

[nivéa]

Sauf erreur on trouve:







Et pour les cas et
On arrive à

Vérifie et fais le calcul ...

:zen:

je pense que vous vous trompez(sauf erreur de ma part)