[DEUG]Espaces vectoriels

[Anonyme]

Bonjour, j'ai un souci dans la résolution d'un devoir.

Soit alpha un complexe
On dit que alpha est algébrique si il existe un polynôme non nul P de
Z[X] qui admet alpha pour racine.

Soit alpha algébrique.

J'ai montré que :

1) I = {P appartenant à Q[X] / P(alpha) = 0} est un idéal de Q[X]

2) Il existe Q non nul unitaire de degré minimal appartenant à I et Q
est irréductible dans Q[X]

Soit Q[alpha] = {x appartenant à R / il existe P appartenant à Q[X]
vérifiant P(alpha) = x}

3) Q[alpha] est un Q-espace vectoriel.

Soit n le degré de Q (celui du 2)). Montrer que (1, alpha, ...,
alpha^(n-1)) est une base de Q[alpha].

C'est ici que j'ai un problème :

En effet, par définition Q[alpha] est inclus dans R.

Or alpha est complexe (par exemple i est algébrique puisque P = (X^2 + 1
) admet i comme racine.

Or pour que (a_0, .., a_n) soit une base d'un espace vectoriel E, il
faut au moins que pour tout k inférieur à n : a_k appartienne à E.

Est-ce que l'assertion précédente est vraie ?

Cette question est peut-être stupide, auquel cas vous voudrez bien
m'excuser.

Merci d'avance

Manu

[Anonyme]

On Wed, 12 Nov 2003 10:13:02 +0100, numa wrote:
>Bonjour, j'ai un souci dans la résolution d'un devoir.
>Soit alpha algébrique.
>Soit Q[alpha] = {x appartenant à R / il existe P appartenant à Q[X]
>vérifiant P(alpha) = x}
>Soit n le degré de Q (celui du 2)). Montrer que (1, alpha, ...,
>alpha^(n-1)) est une base de Q[alpha].
>
>C'est ici que j'ai un problème :
>
>En effet, par définition Q[alpha] est inclus dans R.
>
>Or alpha est complexe (par exemple i est algébrique puisque P = (X^2 + 1
>) admet i comme racine.
>
>Or pour que (a_0, .., a_n) soit une base d'un espace vectoriel E, il
>faut au moins que pour tout k inférieur à n : a_k appartienne à E.
>
>Est-ce que l'assertion précédente est vraie ?

Certes. A mon avis, il y a juste une erreur d'enonce : Q[alpha] est,
generalement decrit comme l'ensemble des COMPLEXES x tels qu'il existe
P dans Q[X] avec P(alpha)=x. Et dans ses conditions, on s'y retrouve...
Bon courage pour la suite,

--
Frederic, a court de commentaires pour l'instant.

[Anonyme]

> >En effet, par définition Q[alpha] est inclus dans R.[color=green]
> >
> >Or alpha est complexe (par exemple i est algébrique puisque P = (X^2 + 1
> >) admet i comme racine.
> >
> >Or pour que (a_0, .., a_n) soit une base d'un espace vectoriel E, il
> >faut au moins que pour tout k inférieur à n : a_k appartienne à E.
> >
> >Est-ce que l'assertion précédente est vraie ?
>
> Certes. A mon avis, il y a juste une erreur d'enonce : Q[alpha] est,
> generalement decrit comme l'ensemble des COMPLEXES x tels qu'il existe
> P dans Q[X] avec P(alpha)=x. Et dans ses conditions, on s'y retrouve...
> Bon courage pour la suite,[/color]

Merci, c'est bien ce que je pensais mais je voulais une confirmation.