Espaces vectoriels

par **Akiitia** » 16 Oct 2008, 19:36

Bonsoir,

Soient E un espace vectoriel de rang fini sur R, T une famille libre non vide dans E

Montrer sur pour tout "t" appartenant a T, T\{t} est encore une famille libre dans E.

j'aimerai une piste pour commencer la démonstration parce que je sèche complètement merci.

par **leon1789** » 16 Oct 2008, 19:48

C'est la première fois que je vois le mot "rang" utiliser pour un espace vectoriel... mais bon, le problème n'est pas là du tout.

Il faut commencer par écrire que la famille T est libre : ça donne quoi ?

par **Akiitia** » 16 Oct 2008, 19:59

leon1789 a écrit:C'est la première fois que je vois le mot "rang" utiliser pour un espace vectoriel... mais bon, le problème n'est pas là du tout.

Il faut commencer par écrire que la famille T est libre : ça donne quoi ?

ben que les élements sont lineairement indépendant

par **leon1789** » 16 Oct 2008, 20:08

Akiitia a écrit:ben que les élements sont lineairement indépendant

oui, et si tu prends une partie de ces éléments, est-ce qu'ils peuvent devenir linéairement dépendants ?

par **Akiitia** » 16 Oct 2008, 20:09

leon1789 a écrit:oui, et si tu prends une partie de ces éléments, est-ce qu'ils peuvent devenir linéairement dépendants ?

euh ca je ne sais pas, je suppose que non

par **leon1789** » 16 Oct 2008, 20:13

Akiitia a écrit:euh ca je ne sais pas, je suppose que non

bon, que signifie que des vecteurs sont linéairement indépendants (libres) ?
et que signifie que des vecteurs sont linéairement dépendants (liés) ?

par **Akiitia** » 16 Oct 2008, 20:16

leon1789 a écrit:bon, que signifie que des vecteurs sont linéairement indépendants (libres) ?
et signifie que des vecteurs sont linéairement dépendants (liés) ?

si la combinaison lineaire nulle des élements est obtenue en prenant des Alpha nuls. ( définition abstraite mais je me comprend )

si elle n'est pas libre elle est lié

par **leon1789** » 16 Oct 2008, 20:21

Akiitia a écrit:si la combinaison linéaire nulle des éléments est obtenue uniquement en prenant des Alpha nuls. ( définition abstraite mais je me comprend )

si elle n'est pas libre elle est lié

Personnellement, je crois que tu n'as pas encore "intégré" cette définition abstraite.
--> Le uniquement est primordiale !

Ok, l'hypothèse est :
la combinaison linéaire nulle des éléments de T est obtenue uniquement en prenant des Alpha nuls.

Maintenant, ta question :
si on a une combinaison linéaire nulle des éléments de T\{t}, est-elle obtenue uniquement en prenant des Alpha nuls ?

Tu ne vois pas le lien avec la phrase de l'hypothèse ? une combinaison linéaire des éléments de T\{t} n'est-elle pas une combinaison linéaire des éléments de T ?

par **leon1789** » 16 Oct 2008, 20:27

écris les éléments de T : t0, t1, t2,...,tn
puis les éléments de T \ {t0} : t1, t2,...,tn
puis une combinaison linéaire nulle des t1, t2,...,tn
puis complète-là en une combinaison linéaire nulle des t1, t2,...,tn, t0
puis applique l'hypothèse sur la famille T.

par **miikou** » 16 Oct 2008, 20:27

une sous famille d'une famille libre est encore libre - la demonstration est relativement simple pourtant ...

par **Akiitia** » 16 Oct 2008, 20:29

leon1789 a écrit:Personnellement, je crois que tu n'as pas encore "intégré" cette définition abstraite.
--> Le uniquement est primordiale !

Ok, l'hypothèse est :
la combinaison linéaire nulle des éléments de T est obtenue uniquement en prenant des Alpha nuls.

Maintenant, ta question :
si on a une combinaison linéaire nulle des éléments de T\{t}, est-elle obtenue uniquement en prenant des Alpha nuls ?

Tu ne vois pas le lien avec la phrase de l'hypothèse ? une combinaison linéaire des éléments de T\{t} n'est-elle pas une combinaison linéaire des éléments de T ?

je vois, donc si on suppose que T\{t} est libre, on devrait avoir une relation lineaire reliant les élements comme A1T1+A2T2+...+ANTN = 0 avec A = 0 ?

mais je ne voit pas a quoi correspond le ""t" appartient a T, et Tprive de {t}"

par **leon1789** » 16 Oct 2008, 20:30

miikou a écrit:une sous famille d'une famille libre est encore libre - la demonstration est relativement simple pourtant ...

Salut miikou,
si tu n'as pas peur de perdre du temps, stp, peux-tu jeter un oeil sur http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=70318&page=1&pp=10
et laisser un commentaire si cela te parle...
Merci :zen:

par **leon1789** » 16 Oct 2008, 20:33

Akiitia a écrit:je vois, donc si on suppose que T\{t} est libre,

tu ne dois supposer que T\{t} est libre, c'est ce que tu veux démontrer !

Akiitia a écrit: on devrait avoir une relation lineaire reliant les élements comme A1T1+A2T2+...+ANTN = 0 avec A = 0 ?

houla, je sens un problème de logique ...

Il faut poser A1T1+A2T2+...+ANTN = 0 et démontrer que A=0 !

(Et pas le contraire qui est toujours vrai.)

Akiitia a écrit:mais je ne voit pas a quoi correspond le ""t" appartient a T, et Tprive de {t}"

Tu veux dire que tu ne comprends pas le T\{t} de l'énoncé que tu as donné au début ?

Akiitia a écrit:Montrer sur pour tout "t" appartenant a T, T\{t} est encore une famille libre dans E.

par **Akiitia** » 16 Oct 2008, 20:42

écris les éléments de T : t0, t1, t2,...,tn
puis les éléments de T \ {t0} : t1, t2,...,tn
puis une combinaison linéaire nulle des t1, t2,...,tn
puis complète-là en une combinaison linéaire nulle des t1, t2,...,tn, t0
puis applique l'hypothèse sur la famille T.

At1 +At2 + .. + Atn = 0

At1 +At2 + .. + Atn + At0 = 0 ?

tu ne dois supposer que T\{t} est libre, c'est ce que tu veux démontrer !

je peux alors supposer que T\{t} n'est pas libre et montrer que c'est aburde ?

Tu veux dire que tu ne comprends pas le T\{t} de l'énoncé que tu as donné au début ?

sisi, mais c'est le " t appartient a T" qui me perturbe surtout

par **leon1789** » 16 Oct 2008, 20:46

Akiitia a écrit:At1 +At2 + .. + Atn = 0

il faut que tu mettes des indices à tes A !

Akiitia a écrit:sisi, mais c'est le " t appartient a T" qui me perturbe surtout

:hein: ben, ça veut dire que t est un élément de T :hein:

par **leon1789** » 16 Oct 2008, 20:47

Akiitia a écrit:je peux alors supposer que T\{t} n'est pas libre et montrer que c'est aburde ?

comment dirais-je... pas la peine d'ajouter une difficulté supplémentaire avec un raisonnement par l'absurde... :ptdr:

par **Akiitia** » 16 Oct 2008, 20:48

Jme suis lancé et j'ai trouver quelque chose comme :

soit T une famille libre

On suppose que T\{t} lié, donc on a : A1T1 + ... + ANTN = 0 avec A non nuls

On a maintenant une relation reliant tous les elements de T :

A1T1 + ... + ANTN + t = 0

la famille est lié car les A ne sont pas nuls or on a supposé que T était une famille libre.

par **leon1789** » 16 Oct 2008, 20:53

Akiitia a écrit:Jme suis lancé et j'ai trouver quelque chose comme :

On suppose que T\{t} lié, donc on a : A1T1 + ... + ANTN = 0 avec A non nuls

On a maintenant une relation reliant tous les elements de T :

A1T1 + ... + ANTN + 0.t = 0

la famille est lié car les A ne sont pas nuls

il faut mettre un 0 devant le t de ta seconde relation, sinon c'est faux !

Oui, ça fonctionne :
en fait, tu viens de démontrer que si T\{t} est liée alors T est liée.

Cela permet de prouver ce que tu voulais (par contraposition) : si T est libre alors T\{t} est libre

Mais je serais toi, j'essaierais de faire la preuve de manière directe... si tu n'y arrives pas, c'est que ça cloche... :id:

par **Akiitia** » 16 Oct 2008, 20:55

oki, je te remercie pour ton aide, bonne soirée a toi :zen:

Espaces vectoriels

Espaces vectoriels

Qui est en ligne