Espaces Vectoriels

[mehdibj]

bonsoir , j'ai un exercice d'espace vectoriel et je vois pas comment m y prendre :
Soit E un C-espace vectoriel et un système dans E , n>1
on considère le système défini par : et
montrer que :

n impair :
n pair : lié .
qui peut me donner une indication s'ils vous plait , merci d'avance .

[Ben314]

Salut,
Le fait que les soient tous des combinaisons linéaires des montre que l'espace vectoriel G engendré par les est contenu dans l'espace vectoriel F engendré par les .
En terme de dimension (des s.e.v. F et G) :
- Qu'implique cette inclusion ?
- Que signifie le fait que la famille est libre ?
- Que signifie le fait que la famille est libre ?
Conclusion.

Pour la deuxième question, montre que si est impair alors on peut aussi écrire les comme combinaisons linéaires des (pour comprendre comment, commence par un cas concret style et/ou )

Pour la troisième question, montrer que si est pair alors on peut trouver une combinaison linéaire (à coeff. non tous nuls) des qui donne le vecteur nul (pour comprendre laquelle, commence par un cas concret style )

Éventuellement, pour les question 2 et 3, on peut écrire une matrice et tenter d'en calculer le déterminant, mais au fond, ça revient quasiment au même.

[mehdibj]

donc si j'ai bien compris je dois dire que :
est libre et génératrice de G donc c'est une base de G .
F contenue dans G d'où .
or génératrice de F d'où
dim (base de F) =n sig base de F donc elle est libre