Espaces Vectoriels

par **Maths-ForumR** » 21 Nov 2015, 15:04

Bonjour,
Voici un exercice sur lequel je bloque totalement :

Pour tout endomorphisme f de E, on note c(f) lensemble des endomorphismes de E qui commutent avec f.
On dit que f est nilpotent dordre n.

3 Décrire brièvement (M')^k pour 2 ;)k;) n .

Pouvez vous m'aider
Merci !

par **remullen2000** » 21 Nov 2015, 16:47

Bonjour,

Cela repose sur 2 choses:

1) qu'est ce qu'une base?
2) qu'est ce q'un endomorphisme nilpotent?

par **remullen2000** » 21 Nov 2015, 16:48

Que signifie libre?

par **Maths-ForumR** » 21 Nov 2015, 19:30

1) Une base d'un espace vectoriel est une famille de vecteurs de cet espace telle que chaque vecteur de l'espace puisse être exprimé de manière unique comme combinaison linéaire de vecteurs de cette base.

2) On dit que f est nilpotent dordre n <=> f vérifie f^n = 0 L(E) et f^(n-1) ;) 0 L(E).

3) Une famille est libre si et seulement si aucun des vecteurs de la famille n'est combinaison linéaire des autres.

par **MouLou** » 21 Nov 2015, 19:36

2)

;)0 et non

;)0

3) et en termes mathématiques? comment on montre qu'une famille est libre en général?

par **Maths-ForumR** » 21 Nov 2015, 19:50

*2) oui pardon j'ai rectifié mon erreur d'énoncé merci !

3) ;) ai ei = 0 avec pour tout i [1,n] ai=0 et ei les vecteur de la famille

par **MouLou** » 21 Nov 2015, 20:00

Oui.

Maintenant tu dois trouver un

tel que:

=>

pour tout i.

Prend

tel que

différent de 0 et vois ce que tu peux faire avec un tel

.

par **Maths-ForumR** » 21 Nov 2015, 20:16

En fait j'ai réussit a faire la question 1) grâce a vos pistes Merci !

Pouvez vous m'aider a faire la question 2) svp

par **MouLou** » 21 Nov 2015, 20:40

La matrice de f dans cette base on est d'accord que ce sont les coordonnées de l'image de la base par f dans cette base. or ta base est

, et son image est:

. Quelles sont les coordonnées de ces vecteurs dans la base? c'est assez simple vu comme ca non?

PS: j'imagine que c'était implicite que E est de dimension exactement n.

par **Maths-ForumR** » 21 Nov 2015, 20:57

Il la y avoir que des 1 sur la 1ere ligne et que des 0 en dessous ?

par **MouLou** » 21 Nov 2015, 20:59

non regarde bien, essaye d'écrire les coordonnées de

dans la base, puis celles de

etc...

par **Maths-ForumR** » 21 Nov 2015, 21:02

Pour f(xo) les coordonnée sont (0,1,0...0) en colonne
Pour f(xo)² les coordonée sont (0,,0,1,...0) en colonne

Donc on obtient une matrice triangulaire avec des 1 sur la diagonale ?

par **MouLou** » 21 Nov 2015, 21:07

sauf pour la dernière colonne: f est nilpotent d'indice n.

par **Maths-ForumR** » 21 Nov 2015, 21:26

Ah oui merci !

par **Maths-ForumR** » 21 Nov 2015, 21:30

Pour la question 3) Décrire brièvement (M')^k pour 2 ;)k;) n .

ça nous donne une matrice avec des zéros sauf pour une coordonnée c'est ça ?
Mais je n'arrive pas a me représenter laquelle

par **MouLou** » 21 Nov 2015, 21:36

Calcule son carré pour voir. Ou alors tu peux t amuser a regarder f^k de ta base c pas dit a calculée non plus

par **Maths-ForumR** » 21 Nov 2015, 21:54

Je trouve la matrice nulle pour M²
C'est bien le produit de :
01
00
Par lui même

par **Maths-ForumR** » 21 Nov 2015, 23:06

Ah très bien merci oui je vois !!

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