Espaces vectoriels

[pluie2]

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice :

Dire si E est un sous espace vectoriel de K^n et le donner si oui :

E={(x²+y²,2xy/(x,y)eR²)}

j'ai fait :

O=(0,0) e E avec x=y=0
Soit a appartient à R et (u,v) à E*E. Comme (u,v) sont dans E*E on a u=(x²_u+y²_u,2x_uy_u) et v=(x²_v+y²_v,2x_vy_v). On pose w=au+v alors :

w=a(x²_u+y²_u,2x_uy_u)+(x²_v+y²_v,2x_vy_v)

et là je n'arrive pas à démontrer si oui ou non E est un sous espace vectoriel

merci :help:

[Ben314]

Salut,
Je te donne juste une "indic." : ce n'est pas un sous espace vectoriel.

Pour le montrer tu peut
- Soit trouver deux vecteurs dans E dont la somme n'est pas dans E. (Tu peut prendre quasiment n'importe quoi pour tes deux vecteurs)
- Soit trouver un vecteur de E dont l'opposé n'est pas dans E (encore plus simple...)

[pluie2]

donc si je prends par exemple :

x=y=1 j'ai bien : x²+y²=2=2xy

si je fais la somme w=u+v = x²+y²+2xy=4

donc ce n'est pas un sous espace vectoriel
c'est ocmme ça qu'il faut faire pour la somme?

[Ben314]

Ben... non...
Ton ensemble E, c'est un ensemble de couples, donc forcément, ajouter des éléments de E, ben ça doit consister à ajouter des couples et surement pas à ajouter des réels !!!

Plus précisément, ton ensemble E, c'est l'ensemble des couples qui peuvent s'écrire sous la forme (x²+y²,2xy) pour un certain x et un certain y réels.

Vu la définition que tu as de E, c'est super facile de tirer au hasard des éléments de E :
Par exemple en prenant x=2 et y=1, ça te dit que le vecteur (5,4) est dans E car 5=2²+1² ; 4=2.2.2
De même, en prenant x=3 et y=2, ça te dit que le vecteur (13,12) est dans E car 13=3²+2² ; 12=2.3.2

Par contre, dans l'autre sens, si on te donne un vecteur, c'est relativement chiant de savoir s'il est ou pas dans E :
Par exemple le vecteur (35,20) est il dans E ?
Pour répondre à la question, par définition de E, il faut regarder s'il existe x et y tels que x²+y²=35 et 2xy=20 et c'est assez chiant à résoudre comme équation (mais ça se fait)

Revenons au problème de départ.
Bon, déjà, j'ai dit une c... : trouver deux vecteurs de E dont la somme n'est pas dans E, ce n'est pas faisable (mais c'est long à montrer....)

Par contre, le vecteur (5,4) par exemple est dans E (voir çi dessus).
Le vecteur (-5,-4) est-il dans E ?

Et si tu veut aller plus loin concernant cet exercice, tu peut montrer qu'en fait, E c'est l'ensemble des vecteurs (x,y) tels que ...

[pluie2]

(-5,-4) n'est pas dans E

ok

je veux bien que vous m'expliquiez votre méthode plus approfondie

[Ben314]

Bon, sinon, je te donne la soluce : étant donné un vecteur , on cherche des réels et tels que .
Le système est équivalent à : il faut donc que .
Dans ce cas le système équivaut à c'est à dire où (la plupart du temps 4 solutions)

Donc en fait, (et on retrouve ce qui était évidenet dés le départ, c'est qu'il faut que .
Avec cette vision là des choses, on constate qu'en fait, si on prend un vecteur de et qu'on le multiplie par un réel positif, le résultat est dans et que si on prend deux vecteurs de leur somme est dans .
Par contre, l'opposé de n'importe quel vecteur non nul de n'est jamais dans .

[MMu]

Je te laisse voir le cas .. :zen:

[pluie2]

ok j'essaie d'y réfléchir d'ici à demain

[pluie2]

alors V1-2V0=(0,2) n'appartient pas à E

[Ben314]

Bon, sinon, je te donne la soluce pour l'équation cartésienne de :
Etant donné un vecteur , on cherche des réels et tels que .
Le système est équivalent à : il faut donc que .
Dans ce cas le système équivaut à c'est à dire où (la plupart du temps 4 solutions)

Donc en fait, (et on retrouve ce qui était évidenet dés le départ, c'est qu'il faut que ).

Avec cette vision là des choses, on constate qu'en fait, si on prend un vecteur de et qu'on le multiplie par un réel positif, le résultat est dans et que si on prend deux vecteurs de leur somme est dans .
Par contre, l'opposé de n'importe quel vecteur non nul de n'est jamais dans .

[pluie2]

d'accord je vais essayer de comprendre ça merci

[Ben314]

d'accord je vais essayer de comprendre ça merci

O.K., mais il faut bien voir que ce calcul n'a rien à voir avec la théorie des espaces vectoriels vu que... F n'est pas un s.e.v. ...