Espaces vectoriels

[wserdx]

Non, je n'ai pas dit que les vecteurs propres étaient les deuxième et quatrième vecteurs de la base canonique "par définition". Je voulais juste t'aider à les retrouver par le calcul.
Si tu admets le résultat, le sev qu'on te demande de trouver est celui engendré par les vecteurs propres, il admet donc pour base , il est donc de dimension 2.
Si une matrice est diagonalisable, le sev engendré par ses vecteurs propres est l'espace tout entier (vérifie-le) Conclus.

[wserdx]

Si ça te dis, refais l'exercice avec

pour voir si tu as compris.

[Dante0]

Non, je n'ai pas dit que les vecteurs propres étaient les deuxième et quatrième vecteurs de la base canonique "par définition". Je voulais juste t'aider à les retrouver par le calcul.
Si tu admets le résultat, le sev qu'on te demande de trouver est celui engendré par les vecteurs propres, il admet donc pour base , il est donc de dimension 2.
Si une matrice est diagonalisable, le sev engendré par ses vecteurs propres est l'espace tout entier (vérifie-le) Conclus.

Merci !
C'est bien cette propriété que tu as utilisée : "pour qu'une matrice soit diagonalisable il faut et il suffit que la dimension de chacun de ses sous espaces propres associés soit égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre à laquelle il est associé."

Sinon est-ce qu'on aurait pu dire si A est diagonalisable ou non suivant cette propriété : "si les valeurs propres d'une matrice d'ordre n sont distinctes deux à deux alors la matrice est diagonalisable"

Je ne saisis pas trop le distinctes deux à deux ? En gros si on retrouve plusieurs fois la même valeur propre ca marche quand même ? :hein:

Je me rends compte qu'on a pu conclure sans avoir à représenter "physiquement" ce sev, si on devait le faire c'est quoi son expression ?

Sinon dans mon cours j'ai cette définition : "une matrice carré de dimension n est diagonalisable si et seulement si ou sont les vecteurs propres associés à "
C'est pareil ? Je comprends pas le coup de la somme ?

[wserdx]

Non j'ai utilisé la deuxième propriété que tu as énoncé (et non pas définition)

J'ai l'impression que la notion de sous-espace vectoriel n'est pas bien claire pour toi.
est le sous espace vectoriel engendré par les vecteurs propres associés à .
C'est exactement l'ensemble des vecteurs (nul et non nuls) solutions de .
Pour répondre à ta première question, si une matrice de dimension a valeurs propres distinctes alors elle est diagonalisable, mais ce n'est pas le cas de la matrice de ton exercice.

[Dante0]

correspond à "si les valeurs propres d'une matrice d'ordre n sont distinctes deux à deux alors la matrice est diagonalisable" ? Sinon j'ai du mal comprendre, comment on lit cette expression au juste ?

Effectivement, j'ai mal lu pour le sev.
Ici notre matrice est de dimension 4 et a uniquement 2 valeurs propres distinctes c'est pour cela qu'elle n'est pas diagonalisable ?

Pourtant la première propriété : "pour qu'une matrice soit diagonalisable il faut et il suffit que la dimension de chacun de ses sous espaces propres associés soit égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre à laquelle il est associé." est bien vérifiée ici non ? Puisque est de dimension 2, et qu'on à une multiplicité double pour 2 et 4.

[wserdx]

A mon avis, (je m'en excuse) la confusion vient du nombre de termes dans la formule.

où m = nombre de valeurs propres distinctes
n = dimension de l'espace entier

Implicitement on utilise aussi le fait que les sous-espaces propres sont supplémentaires, ce qui se traduit par


Dans ton exemple

et

sont de dimension 1 alors que et sont d'ordre de multiplicité 2
et on a aussi


Une autre confusion possible est que dans le cas de -espaces vectoriels, (ou tout corps algébriquement clos) une matrice de dimension a exactement valeurs propres (comptées avec leurs ordres de multiplicité).
Dans le cas réel par exemple, la matrice
n'a pas de valeur propre (réelle), elle n'est donc pas diagonalisable dans , alors qu'elle est diagonalisable dans , ses valeurs propres sont et (cherche les vecteurs propres!)
Pour en revenir à ton exercice, toute matrice triangulaire a aussi n valeurs propres (en comptant les ordres de multiplicité). Mais il faut regarder au cas par cas pour dire si elle est diagonalisable ou pas.

[Dante0]

Ok on aurait pu répondre à la 3e question sans répondre à la seconde en fait, en disant simplement que A est de dimension 4 et qu'elle admet 2 valeurs propres donc qu'elle n'est pas diagonalisable.

Ce que je ne comprends pas en revanche c'est comment on trouve les vecteurs propres associés, on résous ? le vecteur P étant le vecteur propre associé à la valeur propre 4 ?

Je n'ai pas saisis comment tu est arrivé à

[wserdx]

Ok on aurait pu répondre à la 3e question sans répondre à la seconde en fait, en disant simplement que A est de dimension 4 et qu'elle admet 2 valeurs propres donc qu'elle n'est pas diagonalisable.

Ce que je ne comprends pas en revanche c'est comment on trouve les vecteurs propres associés, on résous ? le vecteur P étant le vecteur propre associé à la valeur propre 4 ?

Je n'ai pas saisis comment tu est arrivé à

Ben non, tu n'as pas vu que les deux valeurs propres sont d'ordre de multiplicité 2.

Pour ton autre question, relis une de mes réponses précédentes.

[Dante0]

Ben non, tu n'as pas vu que les deux valeurs propres sont d'ordre de multiplicité 2.

Pour ton autre question, relis une de mes réponses précédentes.

Comment ca ? On peut le voir juste en observant la matrice que 2 et 4 sont des valeurs propres doubles non ?

[wserdx]

Oui, pour une matrice triangulaire, l'ordre de multiplicité (arithmétique) est exactement l'ordre d’occurrence des valeurs sur la diagonale. Ici 2 et 4 apparaissent chacun deux fois. (D'ailleurs tu le dis toi-même dans ton premier post!)
Mais l'ordre de multiplicité géométrique (i.e. la dimension du sous espace propre) ne se lit pas sur la matrice.
Exemple:


Je te laisse voir pourquoi B est diagonalisable (contrairement à A)

[Dante0]

Oui, pour une matrice triangulaire, l'ordre de multiplicité (arithmétique) est exactement l'ordre d’occurrence des valeurs sur la diagonale. Ici 2 et 4 apparaissent chacun deux fois. (D'ailleurs tu le dis toi-même dans ton premier post!)
Mais l'ordre de multiplicité géométrique (i.e. la dimension du sous espace propre) ne se lit pas sur la matrice.
Exemple:


Je te laisse voir pourquoi B est diagonalisable (contrairement à A)

Curieux, pour moi B est non diagonalisable puisque de dimension 4 alors que ses valeurs propres sont au nombre de deux ? Je ne vois pas en quoi elle est différente de A si ce n'est la position des valeurs propres sur la diagonale, mais je ne pense pas que cela ait une importance si ?

[wserdx]

Je pense qu'on touche maintenant au point qui te pose problème : déterminer les sous-espaces propres associés à chaque valeur propre. Il faut que tu t'y colles...

[Dante0]

Je pense qu'on touche maintenant au point qui te pose problème : déterminer les sous-espaces propres associés à chaque valeur propre. Il faut que tu t'y colles...

Oui c'est exactement ca ! Quelle est la méthode sans passer par le ker ? :happy3:
Je me perds un peu dans les messages précédents :triste:

[Doraki]

Ben par exemple pour l'espace propre associé à la valeur 2, tu fais comme ça :

Tu prends ton vecteur P = (x1,x2,x3,x4)
tu calcules le vecteur BP en fonction de x1..x4
tu calcules le vecteur 2P en fonction de x1..x4
tu dis que BP = 2P ce qui te donne 4 équations à propos de x1..x4.

Tu prends le système obtenu, tu le résouds, et tu obtiens donc l'espace des solutions à {(x1,x2,x3,x4) = P tels que BP = 2P}, qui est l'espace propre associé à 2.
Et pour finir tu regardes la dimension de cet espace.

[Dante0]

Et le vecteur P c'est celui de la base canonique c'est cela ? Je ne comprends pas le "en fonction de x1..x4" ? Pas fonction de x1 puis x2 puis x3 puis x4 n'est-ce pas ? C'est bien tous en même temps ? D'ailleurs les x1..x4 c'est juste les éléments de P n'est-ce pas ?

Prenons un exemple :


Cette matrice à 2 valeurs propres : de multiplicité 2 et

Les vecteurs propres associés à sont




Le vecteur propre associé à est


Comment on a fait ici pour trouver les vecteurs propres associés ? :hein:

[Doraki]

Non le vecteur P c'est un vecteur quelconque, tu peux relire la définition que tu as toi-même donnée de vecteur propre, j'ai gardé la même lettre, c'est tout.
On prend un vecteur quelconque, et quand concrètement on fait les calculs, ben on cherche à savoir en termes de ses coordonnées dans la base canonique (ici x1,x2,x3,x4) si il est vecteur propre ou pas.


Dans ton autre exemple, ben ils ont fait les calculs

Soit (a,b,c) un vecteur de R^3

(a,b,c) est un vecteur propre associé à 1
<=> (a,b,c) est non nul et A(a,b,c) = 1*(a,b,c) (c'est la définition)

Là, tu calcules A(a,b,c) donc tu regardes ta matrice et tu as
A(a,b,c) = (0a+0b+1c , 0a+(-1)b+0c , 1a+0b+0c) = (c,-b,a)

Ensuite tu calcules 1(a,b,c) = (1a,1b,1c) = (a,b,c)

Donc si (a,b,c) est non nul, il est un vecteur propre associé à 1
<=> (c,-b,a) = (a,b,c)
<=> c=a et -b=b et a=c

Là tu as obtenu un système de 3 équations à 3 inconnues, et il reste à le résoudre.

...
<=> a=c et 2b=0
<=> a=c et b=0

Donc l'espace propre associé à 1 est {(a,b,c) / a=c et b=0} = {(a,0,a) / a est dans R} est de dimension 1.

N'importe quel vecteur non nul de cet espace propre associé à 1 est un vecteur propre associé à 1, par exemple (17,0,17) est un vecteur propre associé à 1. (A(17,0,17) = (17,0,17) et (17,0,17) est non nul puisque 17 est non nul).

[Dante0]

Je vois !
Pour -1 je tombe sur
c = -a
-b = -b
a = -c

Donc je devrais écrire (a...-a) mais qu'en est-il de b ?
Et comment arriver à ?

[Dante0]

Oui, pour une matrice triangulaire, l'ordre de multiplicité (arithmétique) est exactement l'ordre d’occurrence des valeurs sur la diagonale. Ici 2 et 4 apparaissent chacun deux fois. (D'ailleurs tu le dis toi-même dans ton premier post!)
Mais l'ordre de multiplicité géométrique (i.e. la dimension du sous espace propre) ne se lit pas sur la matrice.
Exemple:


Je te laisse voir pourquoi B est diagonalisable (contrairement à A)

Je reviens aussi sur ce message..
Normalement le fait que la dimension d'une matrice ne soit pas égale au nombre de valeurs propres distinctes est une condition suffisante pour conclure qu'une matrice est non diagonalisable...
En quoi ici B serait diagonalisable ? :hum:

[Doraki]

Ben calcule les espaces propres, qu'est-ce que tu attends ?

Je te rappelle que la matrice identité a 1 seule valeur propre (1) mais elle est diagonale, donc diagonalisable.

[Dante0]

Je bloque ici :

Pour -1 je tombe sur
c = -a
-b = -b
a = -c

Donc je devrais écrire (a...-a) mais qu'en est-il de b ?
Et comment arriver à ?