Espaces vectoriels

par **Dante0** » 05 Jan 2014, 12:15

Bonjour,

Soit la matrice

1) calculer le déterminant à l'aide des valeurs propres
2) quelle est la dimension du sous espace vectoriel engendré par les vecteurs propres associés aux valeurs propres de A
3) en déduire que A n'est pas diagonalisable

Pour la question 1 je sais que le déterminant est égal au produit des valeurs propres, je sais aussi que si la matrice est triangulaire, les valeurs propres sont les éléments de la diagonale principale, donc ici la matrice est bien triangulaire donc je peux dire que les valeurs propres sont 2 et 4 de multiplicité 2 chacune.
Donc

Pour la 2 je sèche ? C'est quoi le "sous espace vectoriel engendré par les vecteurs propres associés aux valeurs propres de A" ?

Merci =)

par **zork** » 05 Jan 2014, 13:06

il faut que tu calcules ker(A-3I) et ker(A-4I)

par **Dante0** » 05 Jan 2014, 15:55

zork a écrit:il faut que tu calcules ker(A-3I) et ker(A-4I)

Pourquoi ker(A-3I) ?
Curieusement on a pas abordé la notion de noyau, y'a pas une autre méthode à utiliser ?

par **zork** » 05 Jan 2014, 20:00

je voulais dire ker(A-2I)

par **wserdx** » 05 Jan 2014, 20:00

Ben alors il te faut montrer que les vecteurs propres (à un scalaire près) sont les deuxième et quatrième vecteur de la base canonique. (c'est à dire les solutions de AX=2X et AX=4X

par **Dante0** » 05 Jan 2014, 20:16

wserdx a écrit:Ben alors il te faut montrer que les vecteurs propres (à un scalaire près) sont les deuxième et quatrième vecteur de la base canonique. (c'est à dire les solutions de AX=2X et AX=4X

C'est quoi les vecteurs propres ici ?

par **wserdx** » 05 Jan 2014, 21:12

Ben, comme je le dis, les deuxième et quatrième vecteurs de la base canonique, soit

par **Dante0** » 05 Jan 2014, 22:37

wserdx a écrit:Ben, comme je le dis, les deuxième et quatrième vecteurs de la base canonique, soit

Mais on parle de vecteurs propres, pourquoi est-ce que tu abordes ceux de la base canonique ?
Ou alors les vecteurs propres sont justement ceux de la base canoniques par définition ?

par **wserdx** » 05 Jan 2014, 22:50

Il faut bien exprimer les vecteurs propres par rapport à une base donnée. Comme ici aucune base n'est donnée, on considère implicitement la base canonique.
Sinon comment calculerais-tu les vecteurs propres?

par **Dante0** » 06 Jan 2014, 16:41

Ok et quel est ce sous-espace vectoriel dont on parle ?

par **wserdx** » 06 Jan 2014, 18:20

Ben d'après la question posée, il s'agit de l'espace vectoriel contenant toutes les combinaisons linéaires des vecteurs propres. Donc à mon avis commence par déterminer les vecteurs propres.

par **Dante0** » 06 Jan 2014, 19:10

Donc les 2 vecteurs propres ici ce serait :

Et

Mais si on avait eu 5 comme valeur propre on aurait trouvé le vecteur propre comment ?

par **wserdx** » 06 Jan 2014, 19:15

Ben comment as-tu trouvé ces vecteurs ? comment intervient une valeur propre dans la recherche d'un vecteur propre associé ?

par **Dante0** » 06 Jan 2014, 19:44

wserdx a écrit:Ben comment as-tu trouvé ces vecteurs ? comment intervient une valeur propre dans la recherche d'un vecteur propre associé ?

Ben c'est les vecteurs de la base canonique, comme tu as précisé dans ton message au dessus.
Pour ta deuxième question, je ne sais pas du tout justement :/

par **wserdx** » 06 Jan 2014, 20:04

Ben reviens alors à la définition de valeur propre et vecteur propre. Les connais-tu?

par **Dante0** » 06 Jan 2014, 21:13

wserdx a écrit:Ben reviens alors à la définition de valeur propre et vecteur propre. Les connais-tu?

Soit A une matrice carrée d'ordre n
On dit que le complexe

est valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur colonne non nul, P, tel que

. Le vecteur P est alors appelé vecteur propre de A associé à

, l'ensemble des vecteurs P vérifiant cette relation étant quant à lui appelé sous espace propre de A associé à

Mais j'arrive pas trop à appliquer à partir de cela.

par **wserdx** » 07 Jan 2014, 08:15

Bon, c'est bon. Le système

peut se réécrire

où

est la matrice identité, ou encore

. Pour que ce système admette des solutions en

non nulles, la matrice

doit donc être non inversible. Quand la matrice

est triangulaire les seules possibilités pour

sont les valeurs diagonales de

(vérifie le)
Résous ensuite

et

par **Dante0** » 07 Jan 2014, 16:03

wserdx a écrit:Bon, c'est bon. Le système peut se réécrire où est la matrice identité, ou encore . Pour que ce système admette des solutions en non nulles, la matrice doit donc être non inversible. Quand la matrice est triangulaire les seules possibilités pour sont les valeurs diagonales de (vérifie le)
Résous ensuite et

J'vais poser une question bête mais comment je résous :

?

On a eu un cours très très chargé en maths on a fait le tour de plein de truc mais souvent en les survolant... Donc y'a des trucs que j'ai oublié depuis le temps que j'ai vu ca :/

Ca n'a pas un rapport avec la forme

ou D est une matrice diagonale ?

par **wserdx** » 07 Jan 2014, 16:49

Tu poses ici

(en colonne en fait). Les

sont donc les coordonnées de

dans la base canonique. Puis en remplaçant tu obtiens un système de 4 équations à 4 inconnues. (qui doit être "non de kramer" puisqu'il n'admet pas une unique solution)

par **Dante0** » 07 Jan 2014, 21:35

wserdx a écrit:Tu poses ici (en colonne en fait). Les sont donc les coordonnées de dans la base canonique. Puis en remplaçant tu obtiens un système de 4 équations à 4 inconnues. (qui doit être "non de kramer" puisqu'il n'admet pas une unique solution)

Je t'avoue que je suis un peu perdu (pour changer..)
Franchement je vois pas trop ce qu'on cherche, on a défini les vecteurs propres, on a dit que c'était le 2e et le 4e de la base canonique. On connait nos valeurs propres et nos vecteurs propres.

On veut la dimension du sous espace vectoriel maintenant, comment le trouver ce sev ?

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