Espaces vectoriels

[Doraki]

Ben pour cette matrice et cette valeur propre, on obtient que l'espace propre associé est {(a,b,c) / a=-c } = {(a,b,-a) / a et b sont dans R}. C'est un espace de dimension 2.

[Dante0]

Ben pour cette matrice et cette valeur propre, on obtient que l'espace propre associé est {(a,b,c) / a=-c } = {(a,b,-a) / a et b sont dans R}. C'est un espace de dimension 2.

Mais comment on trouve ces 2 vecteurs propres à partir de cela ?




On choisi juste des valeurs au hasard pour a et b ? Par exemple pour le premier on a a = 1 et b = 0 et pour le second a = 0 et b = 1 ?

[Doraki]

Oui, ils ont pris une base de l'espace propre au hasard. Ils auraient tout aussi bien pu prendre (12,7,-12) et (6,4,-6).

[Dante0]

Ok donc en restant dans le même exemple, comment je calcule les sous espace propres associés ?

Pour déja

PS : donc en fait il existe une infinité de vecteurs propres associés ?

[Doraki]

Ben oui, c'est pas pour rien qu'on parle d'ESPACE PROPRE associé à ;). C'est l'espace vectoriel des vecteurs propres associés à ;) (plus le vecteur nul).
Donc oui il y a plein plein de vecteurs propres.

Par exemple, si tu prends la matrice identité, ben tous les vecteurs non nuls sont des vecteurs propres associés à 1 (parce que Id(x) = x = 1.x).

[Dante0]

ok, bon si je choisis de revenir à la méthode du ker :

Si une matrice A admet pour valeur propre de multiplicité 2.

Je calcule
Si alors la matrice A est diagonalisable
Sinon elle ne l'est pas.

Exact ?
Sachant que je n'ai même pas besoin de trouver les vecteurs propres en fait ?

[Doraki]

Non, pour que A soit diagonalisable il faut que dim(ker(A-;)I)) soit égal à la multiplicité de la valeur propre ;) pour chaque valeur propre.

Calcule ce que tu veux, le rang de A-;)I, la dimension du noyau de A-;)I, ou (c'est la même chose) la dimension de l'ensemble des solutions de Ax = ;)x

on avait B =
(2 0 0 0)
(1 4 0 0)
(0 0 4 0)
(0 0 -3 2)
et ;) = 2 ou 4.

Maintenant on attend toujours tes calculs. Et par calcul je veux dire un calcul (le mieux c'est que tu détermines une base de l'espace des solutions de Ax = ;)x) et pas "ben le rang il vaut 12, ça se voit."

[Dante0]

Je calcule B-2I

(0 0 0 0)
(1 2 0 0)
(0 0 2 0)
0 0 -3 0)

Est-ce que je peux la réécrire :

(1 2 0)
(0 0 2)
(0 0 -3)

ou ce n'est pas correct ?

[Doraki]

Non, une matrice de taille 4 ce ne peut pas être la même chose qu'une matrice de taille 3.

[Dante0]

Non, une matrice de taille 4 ce ne peut pas être la même chose qu'une matrice de taille 3.

Ok mais comment je fais pour trouver le rang ? J'applique juste le pivot ?

[Dante0]

Ah c'est bon le rang est de 2 et le nombre de colonnes de 4 donc :

[Doraki]

Comment tu montres que le rang est 2 ?

[Dante0]

Comment tu montres que le rang est 2 ?

Je montre que le nombre maximum de colonnes indépendantes est de 2.
DOnc la méthode c'est de faire la même chose avec et c'est bon ?

[Dante0]

Du coup pour résumer :
Si les valeurs propres ne sont pas multiples, on peut conclure en disant que si le nombre de valeurs propres est égal à l'ordre de la matrice alors la matrice est diagonalisable
Si elles sont multiples, on fait intervenir le ker

C'est bien cela ?