Espaces vectoriels

[Trident]

Bonsoir ! On vient de commencer avec les e-v , j'ai besoin d'un petit peu d'aide pour un exo. :zen:

Soit V un sous espace vectoriel d'un espace vectoriel E. Montrez que V+V = V.

Pour montrer ceci, j'ai utilisé la double inclusion. On montre que V+V est inclus dans V , c'est à dire que pour tout éléments w appartenant à V+V, w appartient à V et que V est inclus dans V+V , c'est à dire que tout élément v de V appartiennent aussi à V+V.

L'ensemble V+V est l'ensemble de tous les éléments w s'écrivant sous la forme w = v+v avec v un vecteur de V .

Et V est donc le sous-espace vectoriel content tous les vecteurs v .

J'ai réussi à montrer que V+V est inclus dans V . En effet , soit v un vecteur de V , alors v+v appartient à V car V étant un sev , il est stable par addition.
Ainsi tous les vecteurs w appartiennent bien à V .

Par contre , je n'arrive pas à montrer que V est inclus dans V+V.

Merci d'avance !

[Mortelune]

Bonsoir.

v=v+0 :lol3:

[GagaMaths]

comme dit Mortelune :
Soit v € V.
Alors v = v + 0.
V étant un espace vectoriel, 0 € V.
Pour les mêmes raisons, V est stable par addition.
D'où v € V+V.

[Trident]

Merci. :lol3:

[Doraki]

Non, V+V ce n'est pas {v+v, où v est dans V}, mais {v+w, où v est dans V et w est dans V}

[GagaMaths]

en effet Doraki, Trident méfie-toi :
"L'ensemble V+V est l'ensemble de tous les éléments w s'écrivant sous la forme w = v+v avec v un vecteur de V ."
=> Faux...

"L'ensemble V+V est l'ensemble de tous les éléments w s'écrivant sous la forme w = v1+v2 avec v1 et v2 deux vecteurs de V ."