Espaces vectoriels

[Anonyme]

Bonsoir

F est une famille de n elements:
si F est generatrice alors tte famille contenant + de n vecteurs est liée.
d'ou sort ce resultat??

Merci

[Anonyme]

Si une famille à n éléments est génératrice alors une base qqc à au plus n éléments.
D'où le résultat.

[abcd22]

Il suffit de montrer que toute famille de n+1 vecteurs est liée.
On le montre par récurrence sur n : cas n = 1 en exercice.
Si c'est vrai pour n-1, soit la famille génératrice, soient n+1 vecteurs.
Alors comme F est génératrice on peut écrire pour tout i : . Si tous les sont nuls, la famille est évidemment liée, sinon on peut supposer que , et pour , on pose , on se ramène ainsi à une famille de n vecteurs combinaisons linéaires de , il suffit de lui appliquer l'hypothèse de récurrence pour conclure.

(nuage : c'est ce résultat qu'on utilise pour dire qu'une base est de cardinal inférieur ou égal à n...)