Espaces vectoriels

par **benekire2** » 19 Mar 2010, 13:22

Bonjour, je dois prouver que l'ensemble des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 forment un espace vectoriel de dimension 2.

Je n'ai pas du tout commencé le cours d'algèbre du supérieur, mais je dois savoir le faire ( et donc comprendre ) ... c'est une nécessité malheureusement.

Alors ce sont des suites a valeurs réelles que nous traitons, il faut donc montrer que c'est un R-espace vectoriel.

L'ennui c'est que je ne sais pas trop m'y prendre ...

Quelqu'un pourrait me dire comment procéder ?

Merci beaucoup .

par **alavacommejetepousse** » 19 Mar 2010, 13:42

bonjour

si j'ai bien compris tu dois prouver quelque chose sans connaître les notions qui y sont liées?

par **Nightmare** » 19 Mar 2010, 13:48

Salut,

je te comprends pas trop, la définition d'un espace vectoriel, on ne peut pas l'inventer si on ne la connait pas ! Ne l'as-tu pas au moins lue?

par **benekire2** » 19 Mar 2010, 13:56

alavacommejetepousse a écrit:bonjour

si j'ai bien compris tu dois prouver quelque chose sans connaître les notions qui y sont liées?

En fait, tu synthétise très bien :zen:

Mais disons que je connais la définition d'un ev :

On a E muni de la loi + commutative et pour tout a,b de K et pour tout x,y de E ; on a :

a(bx)=abx ; (a+b)x=ax+bx ; 1x=x ; a(x+y)=ax+ay

Si je comprends bien je dois montrer ces choses là ...

Alors on cherche a caractériser U(n+2)=aU(n+1)+bU(n)
a,b réels

et déjà une question con ici c'est quoi E ? ... :briques:

par **barbu23** » 19 Mar 2010, 14:02

On vient dè jà de faire le même exo il y'a m ême pas eux j ours sur ce même forum ! :happy3:
Bref :

est l'espace des suites reelles ! :happy3:
Donc, tu montres que :

est un sous espace vectoriel de

.

par **Nightmare** » 19 Mar 2010, 14:03

Je pense sans vouloir te vexer que c'est un peu (trop) prématuré. Ta définition d'un ev n'est pas bonne. As-tu vu la notion de groupe? De loi de composition?

E, c'est l'espace vectoriel et K le corps des scalaire qui agit sur E par multiplication scalaire.

par **alavacommejetepousse** » 19 Mar 2010, 14:06

E est l espace vectoriel ambiant ici celui des suites réelles en effet

par **benekire2** » 19 Mar 2010, 14:11

Oui je sais que c'est prématuré, j'ai d'ailleurs même pas envie de commencer le cours d'algèbre.

Je sais que E c'est l'ev, mais j'avais du mal a savoir qui il était dans ce cas précis.

Dans ma définition il fallait lire E un groupe commutatif.

Je connais de manière très superficielle les notions de Groupe et de lois.

En fait, c'est que je viens de m'apercevoir que l'une de mes démonstrations de TPE est incomplète et il faut que je justifie que E est un ev de dimension 2.

par **Nightmare** » 19 Mar 2010, 14:15

Le problème est que si tu dis pendant ta présentation de TPE que E est un ev de dimension 2 et que les examinateurs commencent à te parler d'ev, c'est très risqué non? Il n'est pas interdit de faire du hors-programme au TPE mais les examinateurs sont très pointilleux à ce sujet. Pour mon TPE, j'ai simplement parlé de primitives et c'était déjà l'hécatombe de question à ce sujet voir si la notion avait vraiment été comprise, par moi mais aussi par le reste du groupe !

par **barbu23** » 19 Mar 2010, 14:15

barbu23 a écrit:On vient dè jà de faire le même exo il y'a m ême pas eux j ours sur ce même forum ! :happy3:
Bref :

est l'espace des suites reelles ! :happy3:
Donc, tu montres que : est un sous espace vectoriel de .

Bon, ça y est ! arretons les disputes maintenant ! :zen:
Maintenant qu'on est arrivé à identifier l'exo ! il ne reste qu'à se mettre au boulot ! non ! :happy3:

par **Nightmare** » 19 Mar 2010, 14:16

Latexifier un énoncé ne le rend pas forcément plus clair...

par **benekire2** » 19 Mar 2010, 14:38

oui mais le problème c'est qu'il y a un problème dans la preuve, je ne peut pas le laisser. Je dois corriger l'erreur, même si j'en parle pas à l'oral.

Pour montrer que E est un groupe commutatif:

je dois montrer que la loi + de E est associative, commutative que (E,+) possède un élément neutre et que tout élément de E possède un symétrique dans E.

Quelqu'un pourrait-il me faire la démo d'une de ces propriétés, histoire que je voie qu'es-ce qu'il faut utiliser.
Merci.

par **Nightmare** » 19 Mar 2010, 14:50

Sans indiscrétion, qu'est-ce qui dans ton TPE nécessite réellement que tu parles d'ev? Je ne pense pas me tromper en disant que tu peux le contourner en restant niveau lycée et je pense sincèrement que parler d'ev dans ton TPE sera très mal vu.

Bref, très rapidement, ici on a pas vraiment besoin de se soucier du caractère de groupe puisque la structure est induite de celle qu'on a sur l'ensemble des suites réelles. A savoir qu'on a déjà définit l'addition, associative et commutative, de deux suites :

, pareil pour la multiplication par un réel, on a évidemment l'existence d'un symétrique pour toute suite qui est la suite

et d'un élément neutre qui est la suite nulle.

Ce qui est donc important à démontrer c'est que l'espace des suites récurrentes d'ordre 2 a une structure linéaire.

Pour cela il faut donc démontrer qu'il contient le vecteur nul et qu'il est stable par combinaison linéaire. A toi d'essayer.

par **benekire2** » 19 Mar 2010, 14:58

Nightmare a écrit:Sans indiscrétion, qu'est-ce qui dans ton TPE nécessite réellement que tu parles d'ev? Je ne pense pas me tromper en disant que tu peux le contourner en restant niveau lycée et je pense sincèrement que parler d'ev dans ton TPE sera très mal vu.

Bref, très rapidement, ici on a pas vraiment besoin de se soucier du caractère de groupe puisque la structure est induite de celle qu'on a sur l'ensemble des suites réelles. A savoir qu'on a déjà définit l'addition, associative et commutative, de deux suites : , pareil pour la multiplication par un réel, on a évidemment l'existence d'un symétrique pour toute suite qui est la suite et d'un élément neutre qui est la suite nulle.

Ce qui est donc important à démontrer c'est que l'espace des suites récurrentes d'ordre 2 a une structure linéaire.

Pour cela il faut donc démontrer qu'il contient le vecteur nul et qu'il est stable par combinaison linéaire. A toi d'essayer.

En fait j'ai déjà montré qu'il était stable par combinaison linéaire et c'est la seule chose qui m'intéresse par la suite. D'ailleurs c'est une prof qu'i m'a dit qu'il fallait préciser que c'était un ev de dim 2. Ca ne vient pas de moi. Mais néamoins, il faut que je corrige cela ( rien que pour être content d'avoir bien fait les choses)

Je n'ai donc pas a prouver que u+v=v+u ? Je n'ai pas besoin de justifier que (E,+) est un groupe commutatif ?

par **alavacommejetepousse** » 19 Mar 2010, 15:01

non car tu as un espace V ambiant celui des suites réelles pour lequel quand on a suivi un cours d algèbre on sait que c est un ev ici
il suffit de montrer que E est un sous espace vectoriel de V pour avoir ipso facto E lui même ev (pour les lois restreintes)
maintenant quoi que c est sous espace vectoriel ( c est une notion là encore présente dans tout bon cours en page 2 ou 3 maxi)?

par **benekire2** » 19 Mar 2010, 15:11

Ouais j'ai été voir et en effet, il suffit de prouver que W est dans F avec W=aU+bV ainsi que 0 est dans F pour montrer que F est un sous ev de E.

Ma démonstration que j'ai faite sur mon TPE montre donc que c'est un sous espace vectoriel. Il suffit donc que je le précise.

Merci beaucoup.

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