Espaces vectoriels supplémentaires

[Science]

Bonjour les ami(e)s j'ai un petit problème avec un exercice sur les E.V :

Soit E un E.V et E1 E2 E3 des sous espaces vectoriels de E.

On a E1+E3=E2+E3
= et
Je dois montrer que que E2=E1
Je sais qu'on doit montrer que

Mais voilà un moment la prof dit : soit alors il existe et tel que x=y+z mais moi je comprend pas pourquoi, pouvez-vous m'expliquer?

Merci de votre aide

Cordialement

Science

Ps: désolé je suis pas fort en latex : x est dans E1 y dans E2 et z dans E3

[benekire2]

Salut en fait il faut regarder ton égalité E1+E2=E2+E3 cela signifie ( si l'on note F cet ev) que pour un a€F a=x+y=y'+z pour des x de E1 y,y' de E2 et z de E3 , le truc c'est que E2 est un ev donc stable par combinaisons linéaires. Et y-y' est un élément de E2 ...

[Science]

Salut en fait il faut regarder ton égalité E1+E2=E2+E3 cela signifie ( si l'on note F cet ev) que pour un a€F a=x+y=y'+z pour des x de E1 y,y' de E2 et z de E3 , le truc c'est que E2 est un ev donc stable par combinaisons linéaires. Et y-y' est un élément de E2 ...

Excuse moi j'ai fais une grosse boulette c'est E1+E3=E2+E3

[Ben314]

Salut,
T'est sûr que ta première formule serait pas E1+E3=E2+E3 (ça rendrait l'exo passablement plus "symétrique"...)

[Ben314]

Si tu est en dimension fini, le plus simple (et de loin...) est de raisonner sur les dimension de tes différents sous-espaces vectoriels.

Sinon, pour ta question,
Si x est dans E2 alors il est évidement dans E2+E3 c'est à dire dans E1+E3 et cela montre qu'il s'écrit x=y+z avec y dans E1 et z dans E3.

[benekire2]

Science >> cela dit c'est le même principe.