Espaces vectoriels/matrice

par **Dante0** » 13 Oct 2012, 22:09

Bonjour,

Je suis compltement bloqué sur cet exercice :

Soit le systme d'equations linéaires
MX = 0 (vecteur)
où

1) Montrer que si

et

sont deux solutions de ce systme alors

et

(où a est un réel quelconque) en sont également solutions. En déduire que l'ensemble des solutions de ce systme est un espace vectoriel.

2) A quelle conditions l'ensemble des solutions du système

(où U est un vecteur donné de

) est-il un espace vectoriel ?

3) Mêmes questions pour une matrice carrée M d'ordre n quelconque.

Merci !

par **wserdx** » 13 Oct 2012, 23:05

Peux-tu montrer que si

et

sont deux vecteurs quelconques de

et

un réel quelconque alors

et

?
Qu'en déduis-tu si

et

sont solutions du système ?

par **Dante0** » 14 Oct 2012, 09:21

wserdx a écrit:Peux-tu montrer que si et sont deux vecteurs quelconques de et un réel quelconque alors

et ?
Qu'en déduis-tu si et sont solutions du système ?

Comment m'y prendre ?
J'ai pas très bien compris la question en fait..

par **wserdx** » 14 Oct 2012, 11:26

Pas de panique. Que ne comprends-tu pas dans ma question?

par **Dante0** » 14 Oct 2012, 12:24

wserdx a écrit:Pas de panique. Que ne comprends-tu pas dans ma question?

C'est la question de l'énoncé que je ne comprends pas. Comment montrer que X0 et X1 sont 2 solutions du système déja. Je ne dois pas utiliser le rang non ?
Mais pourquoi vouloir démontrer que

? C'est logique non ?

par **wserdx** » 14 Oct 2012, 13:37

Pas de panique. Relis bien la question, il y a un "si" juste après "montrer que"

par **Dante0** » 14 Oct 2012, 14:08

wserdx a écrit:Pas de panique. Relis bien la question, il y a un "si" juste après "montrer que"

X0 et X1 sont bien des vecteurs n'est-ce pas ?
En fait on doit montrer que M est stable pour la somme et le produit ? Et que X0 et X1 engendrent (peut etre) M ?

par **wserdx** » 14 Oct 2012, 15:00

Bon, passe maintenant aux questions que j'ai posées.

par **Dante0** » 14 Oct 2012, 15:43

wserdx a écrit:Bon, passe maintenant aux questions que j'ai posées.

Non.. mais je peux pas si tu réponds pas à mes questions... :we: :triste:

par **wserdx** » 14 Oct 2012, 16:31

oui X0 et X1 sont des vecteurs. Tu dois montrer que l'espace des solutions du système est stable par addition et multiplication par un scalaire.

par **Dante0** » 14 Oct 2012, 16:46

wserdx a écrit:oui X0 et X1 sont des vecteurs. Tu dois montrer que l'espace des solutions du système est stable par addition et multiplication par un scalaire.

C'est quoi cet espace des solutions du système dont tu parles ? Le couple X0 X1 ?
Donc on commence par supposer que X0 et X1 sont effectivement solutions et ensuite... ? :/

par **wserdx** » 14 Oct 2012, 17:23

oui je vais peut-être trop vite pour toi. il s'agit de "l'ensemble" des solutions du système MX=0. ( X est une inconnue vecteur) on commence par supposer que X0 et X1 sont deux solutions quelconques ensuite ... on relit la question.

par **Dante0** » 14 Oct 2012, 19:05

Justement je ne sais pas démontrer ca

wserdx a écrit:Peux-tu montrer que si et sont deux vecteurs quelconques de et un réel quelconque alors

et ?
Qu'en déduis-tu si et sont solutions du système ?

par **wserdx** » 14 Oct 2012, 20:17

et

sont des vecteurs de

, ils ont donc chacun 3 composantes réelles.
Il peuvent s'écrire en toute généralité:

Tu sors les rames et tu calcules séparément

et

d'une part et

et

d'autre part en remplaçant

par l'expression qui t'est donnée.
Je ne sais pas si c'est ça qui te bloque ?

par **Dante0** » 14 Oct 2012, 20:49

wserdx a écrit: et sont des vecteurs de , ils ont donc chacun 3 composantes réelles.
Il peuvent s'écrire en toute généralité:

Tu sors les rames et tu calcules séparément
et d'une part et
et d'autre part en remplaçant par l'expression qui t'est donnée.
Je ne sais pas si c'est ça qui te bloque ?

Aprs avoir fait le calcul qu'est-ce que je dois vérifier pour répondre à la première question ? Qu'est-ce qui fera que

et

seront également solutions ?

par **wserdx** » 14 Oct 2012, 21:20

être solution, c'est tout simplement satisfaire le système d'équations MX=0 !!!
donc si X0 et X1 sont solutions, c'est que MX0=0 et MX1=0
ce n'est pas clair pour toi le rôle de l'inconnue X ?

par **wserdx** » 14 Oct 2012, 21:28

Je précise peut-être : M étant une matrice 3x3, MX=0 désigne un système de 3 équations (linéaires) en 3 inconnues!

par **Dante0** » 14 Oct 2012, 21:46

D'accord je vais essayer de résoudre ca !

par **wserdx** » 14 Oct 2012, 21:51

Non, n'essaye pas de résoudre le système! (enfin tu peux, mais la question n'est pas là)
Laisse X0 et X1 complètement indéterminés. ecris juste MX0=0 et MX1=0, c'est tout!

par **Dante0** » 14 Oct 2012, 22:17

wserdx a écrit:Non, n'essaye pas de résoudre le système! (enfin tu peux, mais la question n'est pas là)
Laisse X0 et X1 complètement indéterminés. ecris juste MX0=0 et MX1=0, c'est tout!

Non je parlais de la multiplication

et

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