Espaces vectoriels - endomorphisme

[Azuriel]

Bonjour, voila je bloque sur cette question :

"Soit E un ev, trouver tous les couples (f,g) d'endomorphismes de E qui verifient fog=f et gof=g"

Je vois pas trop comment prendre en main cet exercice, lapplication identité est une solution evidente mais je pense que ce n'est pas ce qu'il faut faire..Si quelqu'un pouvais m'aider..Merci d'avance.

[tize]

Bonjour,
avec tes relations, on montre sauf erreur de ma part que et , f et g son donc des projections de plus on montre aussi facilement que Ker(g)=Ker(f)...on a donc f=g="une projection quelconque"

[Azuriel]

Merci beaucoup, j'avais remarqué ça car si on supposé f=g on avait donc f²=f et g²=g donc la caracterisation d'un projecteur..Cependant ça me parait tout de meme un peu bizarre..surtout le fait qu'on soit obligé que f=g..car en lisant l'énoncé cette solution parait trivial..

[fahr451]

ce qui est moins "trivial" c'est que cette solution triviale soit la seule.

[BQss]

Bonjour,
avec tes relations, on montre sauf erreur de ma part que et , f et g son donc des projections de plus on montre aussi facilement que Ker(g)=Ker(f)...on a donc f=g="une projection quelconque"

Salut Tize je suis tout a fait d'accord* sauf sur un detail.
pour que f=g il faudrait en plus que Im(f)=Im(g), on peut avoir deux projections suivant une meme direction(ker(f)=ker(g)) mais pas forcement sur le meme plan( Im(f) pas egal a Im(g) ).
Donc je dirai, f et g sont deux projections suivant la meme direction est suffisant, f=g etant un cas particulier ou cela est verifié.

*1)fof= fogof = fog = f et de meme gog=g
2)fog=f --> Ker(g) inclu dans Ker(f) et de meme gof=g --> Ker(f) inclu dans Ker(g)
donc Ker(f)=Ker(g)

Ensuite il me semble qu'on ne puisse rien dire sur Im(f) et Im(g) a part naturellement qu'ils ont meme dimension.

*edit, en effet c'est suffisant et on ne peut rien deduire de Im(f) et de Im(g), je montre plus bas l'equivalence fog=f et gof=g f et g sont deux projecteurs de meme direction.

[BQss]

ce qui est moins "trivial" c'est que cette solution triviale soit la seule.

C'est pourtant triviale que si f et g sont des projections de meme direction, f=fog(a moins que tu insinuais par la que f=g=un projecteur n'etaient pas les seules solutions ...)...
fog est alors biensur une projection et:
la base de fog vaut evidemment la base de f.
La direction de fog est egalement celle de f (si x appartient a ker(g)=ker(f) --> fog(x)=0 et donc x appartient a ker(fog), de plus pour tout x n'appartenant pas a Ker(g)=ker(f), g(x) n'appartient pas a ker(g) car Im(g) est supplementaire a ker(g) et donc g(x) n'appartient pas a ker(f) et fog(x) different de 0: fog(x)=0 g(x)=0. Soit ker(fog)=ker(g)=ker(f).
donc f et fog sont les memes projecteurs, par consequent des endomorphismes egaux.

On aurait aussi tres bien pu dire(d'ou le fait que je trouve ca triviale) avec un argument geometrique uniquement et sans demonstration que la composée de deux projections suivant la meme direction est encore une projection suivant la meme direction et donc ker(fog)=ker(f) (la projection etant sur Im(f) ) .

finalement f=fog f et g sont deux projections de meme direction.

[BQss]

Merci beaucoup, j'avais remarqué ça car si on supposé f=g on avait donc f²=f et g²=g donc la caracterisation d'un projecteur..Cependant ça me parait tout de meme un peu bizarre..surtout le fait qu'on soit obligé que f=g..car en lisant l'énoncé cette solution parait trivial..

Attention une solution est f=g=un projecteur et pas f=g, car en effet dans le cas ou f=g, si f et g sont des projecteurs les relations sont verifiées, mais f=g quelquonque ne marche pas.

De plus,
f=g=un projecteur est un cas particulier ici, ce n'est pas obligé, en fait l'espace des fonctions verifiant fog=f et gof=g est plus grand : un projecteur de meme direction. cf ci dessus.