Espaces vectoriels et dual

[ArtyB]

Bonjour,
J'ai quelques soucis dans la résolution de cet exercice:

1. Soient F et G deux sous-espaces d’un espace vectoriel E. Montrer que dans le dual E* on a les
identités:


et en déduire que si alors .

J'ai beau voir et revoir mon cours je ne comprends pas le moins du monde comment on peut résoudre ceci.

2. Soit une application linéaire entre espaces de dimension finie. On définit la transposée de f par pour tout h de W*. Montrer que , et en
déduire que .

[remullen2000]

Bonsoir,

Il suffit de traduire l'énoncé: Quelle est la définition de sous espace orthogonal dans un dual?

[ArtyB]

Si F est une partie de E, on définit l'orthogonal (ou annulateur) F° de F dans E* comme le sous-espace des formes qui s'annulent sur F. Mais ça ne m'aide pas beaucoup si ?

[MouLou]

Une forme lineaire nulle sur F+G est en particulier nulle sur F, et nulle sur G non?
Reciproquement, une forme linéaire nulle sur F et nulle sur G est nulle sur F+G non?
traduis en francais ce que veulent dire les egalités que tu veux montrer, vois le lien avec la définition, et retraduit en math :)

[ArtyB]

Mhm sûrement oui mais je ne vois pas trop le lien avec l'énoncé.

J'ai lu et réfléchis un peu (ça ne fait pas de mal parfois) et voilà où j'en suis:

On sait que .
On a et
Donc et
d'où

Réciproquement, soit x appartenant à , x est orthogonal à tout élément de F et à tout élément de G et donc aussi à la somme d'un élément f de F et d'un élément g de G, donc x appartient à
Donc

On en conclu que


Si on a démontré que
Alors,
or
Donc on obtient
d'où:
ce qui donne

J'ai bon ?

[MouLou]

oui c"est ca

[ArtyB]

Merci MouLou, et après pour la somme directe:
Si , on a ,
Dans le cas de la dimension finie, on a :

d’où la somme directe

C'est bien cela ?

[ArtyB]

Ou alors ça ?

On a :
.

On sait que implique que pour tout z de E, il existe un unique couple (x,y) de F×G tel que z = x + y. Soient p et q les projecteurs associés à la décomposition , p et q sont les deux endomorphismes de E définis par p(z) = x et q(z) = y.

Alors, z;)E, z=p(z)+q(z) signifie que .
En composant à gauche par un élément quelconque f de E*, cela donne : .

Les deux applications f;)p et f;)q sont linéaires donc ce sont deux éléments de E*.
De plus,, donc,
et x;)G,f o p(x)=0, donc, f;)p;)G.
D'après ce qui précède, cela signifie que .