Espaces supplémentaires

par **jeje56** » 05 Oct 2020, 11:45

Bonjour à tous,
Il s'agit de montrer la supplémentarité dans l'espace vectoriel E des fonctions de classe C1 de R dans R des SEV F et G suivants :

;

.
L'intersection réduite à

est évidente.
Montrons E inclus dans F+G.
En supposant

où

et en évaluant en 0, j'arrive à

et

. Je ne parviens pas à en déduire u et v qui conviendraient...
Quelqu'un peut-il m'apporter son aide ?
Merci !

par **GaBuZoMeu** » 05 Oct 2020, 12:41

Bonjour,

Tu y es presque, sauf que tu t'es emmêlé les pinceaux entre

et

.

Tu pars de

. Tu as fait la partie "analyse" en écrivant qu'on doit avoir pour tout réel

avec

.
Tu as déterminé

et

(en faisant l'erreur signalée plus haut), et donc tu as aussi

(car

).
Reste à faire la synthèse : vérifier que ça donne bien une écriture de

comme somme d'un élément de

et d'un élément de

.

Remarque : la partie "analyse" montre l'unicité de cette écriture, donc il n'était finalement pas utile de démontrer

.

par **jeje56** » 05 Oct 2020, 13:36

Super, merci Gabuzomeu, c'est bien clair !

par **GaBuZoMeu** » 05 Oct 2020, 13:38

Avec plaisir.