Espaces hilbertiens

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

à nouveau un exercice sur les espaces de Hilbert où je bloque:

Soient et deux -espaces hilbertiens et soient et les -produits scalaires associés sur et respectivement.
Soit une application vérifiant

[CENTER] et pour tous .[/CENTER]

1) Montrer que est continue sur .

2) Vérifier que pour tous on a .

3) En développant, pour l'expression , montrer que est linéaire et donc linéaire et continue.

4) Sous les hypothèses ci-dessus, le résultat de 3) a-t'il aussi lieu avec à la place de , (on pourra examiner le cas ).

Je bloque à partir de la 3), je ne vois pas comment développer,

merci pour votre aide.

[ThSQ]

3), je ne vois pas comment développer,

Utilise la bilinéarité !

||x+y||² = = .....

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ok je regarde ça :)

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Bon en utilisant la bilinéarité, voilà ce que je développe:

,

et à partir de là je ne vois pas comment continuer le développement pour tomber sur 0?

[tito]

bonsoir, tout d'abord développe au max ton cacul final (le terme du milieu utilise la bilinéarité) puis utilise le résultat de la question 2) pour faire disparaitre tous les f tu ne te retrouves qu'avec des x²,y²,(x | y),etc.... fait la somme sa fait 0.

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bonsoir, tout d'abord développe au max ton cacul final (le terme du milieu utilise la bilinéarité) puis utilise le résultat de la question 2) pour faire disparaitre tous les f tu ne te retrouves qu'avec des x²,y²,(x | y),etc.... fait la somme sa fait 0.

ah ok, il faut développer au maximum,

merci tito.

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bon, après un long calcul je trouve bien que est linéaire, je regarde si elle est continue.

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Pour la 4, je ne trouve pas de contre-exemple.

[tito]

bonjour, pour la question 4 prend comme contre exemple l'application conjuguée complexe (qui est R-linéiare mais qui n'est pas C-linéaire !)et qui vérifie bien les hypothése de départ

A+

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bonjour, pour la question 4 prend comme contre exemple l'application conjuguée complexe (qui est R-linéiare mais qui n'est pas C-linéaire !)et qui vérifie bien les hypothése de départ

A+

ah d'accord, je sais pas pourquoi j'avais pensé qu'elle était linéaire.
Je vais regarder ça.

Merci