Equations d'Espaces vectoriels

[zenaf]

Bonjour
Voila mon probleme.
J'ai réussi a définir un sev a l'aide de la relation suivante:
E=Vect((1,2,3),(4,5,6))
Il me faudrait désormais définir cet espace sous la forme
E={(x,y,z)|ax+by+cz=0} mais je ne vois pas du tout comment m'y prendre
Le résultat ne m'interesse pas (de toutes manieres les vecteurs sont bidons :p) mais la technique oui, alors si vous pouviez m'expliquer je vous en seré gré. Merci.

[yos]

2 est la moyenne de 1 et de 3.
5 est la moyenne de 4 et de 6.
D'où l'équation de ton plan vectoriel.

[buzard]

pense au produit scalaire. ce que tu cherche c'est d'exprimer le plan (hyperplan dans l'espace) comme le noyau d'une forme linéaire ou l'intersection de noyau (pour des dimensions et codimensions différentes)

en gros :



or en dimension finis le théorème de riesz dit qu'une forme continue c'est issus d'un produit scalaire :



puis tu conclus.


pour la méthode tu as deux vecteurs du plan, soit deux equations et trois variables (les composant de a). il suffit de choisir arbitrairement une des composantes et tu résoud.

Sinon t'es dans l'espace, or tu sais que dans l'espace il existe un produit qui vérifie justement les conditions d'orthogonalité avec les opérandes. c'est le porduit vectoriel, tu peux donc l'utiliser pour trouver un représentant de a.



ici tu l'appliques aux deux vecteurs s'il sont non colinaire, car s'il sont colinéaire, tu t'en serais rendu compte en résolvant le système précédent (rang < 2), et ben c'est plus un plan mais une droite il te faudrait donc deux equation cartésiennes pour représenter ses éléments.

tu peut aussi utiliser l'orthogonalisation de graam schmit cela te permettras de choisir arbitrairement les hyperplans dont tu prend l'intersection.

[yos]

Pourquoi faire simple?

est bien pourtant. Bon il est vrai qu'une méthode générale est demandée.