Sous-espaces vectoriels engendré par un système d'équations

[Georges10]

Bonsoir chers amis

Ma préoccupation est la suivante :

J'aimerais savoir si par exemple on a un système d'équations linéaires, et qu'on demande de vérifier si l ensemble des solutions de ce système est un sous-espace vectoriel ( de R3 )
Est ce qu'il faut vérifier les propriétés de l ensemble non vide, stabilité sur les lois
Ou
Est ce qu'il faut se contenter de trouver les solutions puis en déduire si on a une droite vectorielle, plan vectoriel ou espace vectoriel ???

Merci d'avance !

[pascal16]

pour ma part, je ferais la stabilité par combinaison linéaire :

système avec second membre nul.
-> on vérifie la stabilité par combinaison linéaire de 2 solutions.
(très facile, on regroupe mes termes et 0+a*0 = 0)

système avec second membre non nul.
-> on soustrait deux solutions, on se ramène au premier cas

[Georges10]

Merci !

[LB2]

Bonjour,

l'espace des solutions a une structure d'espace vectoriel si le système est linéaire homogène (second membre nul), c'est un résultat général que tu peux en principe invoquer tel quel.
S'il y a un second membre non nul en revanche, il a une structure d'espace affine (solution particulière + solution du système homogène)

[Georges10]

Ok je vois
Merci beaucoup