Equation fonctionnelle 2

[dilzydils]

Bonjour

Soit f une fonctions de R ds R continue en 0 et en 1 telle pr tt reel x: f(x)=f(x^2).
Je dois montrer que f est constante.
J'arrive à montrer que f est paire et que pour tt a positif.
f(a)=f(a^2)=f(a^4)=...=f(a^2^n)
f(a)=f(a^(1/2))=...=f(a^(1/(2^n))).
Mais je n'arrive pas à la conclusion.
Sans me donner la solution, pourruez-vous m'indiquer des pistes pour y parvenir.

Merci

[yos]

Bonsoir.

Soit a un réel positif.
On pose U0=a et Un+1=racine de Un.

Il est clair que Un converge vers 1, donc par continuité f(Un) converge vers f(1). Mais f(Un) est constante, donc elle converge vers la constante qui est f(a).
Par unicité de la limite, on a f(a)=f(1), donc f est constante sur R+. Je te laisse étendre à R... et utiliser la continuité en 0!