Equation fonctionnelle .

par **JLN37** » 16 Jan 2008, 18:24

bonsoir ! j'ai eu un exercice sur les equation fonctionnelle a faire en DM. l'intitulé est le suivant :

pour tout (x,y) dans R²,
(1) : f(x+y)+(x+y)=[f(x)+x][f(y)+y]
(2) : f(1) = a avec a dans ]1,+infini[

il y a plusieurs question... une est la suivante :
montrer que pour tout x de R et pour tout n de N
f(n*x)=[f(x)+x]^n-n*x
ca je l'ai fait par recurrence, en revanche, a partir de cela je bloque sur 2 questions :
"En remplacant x par -x, montrer que l'égalité 4 reste vrai pour tout x de R et tout n de Z" (sachant qu'entre les deux question, j'ai aussi démontrer que
f(-x)-x=1/(f(x)+x)...)

je ne vois aps du tout comment faire...

puis une autre question qui est : "exprimer f(x) pour x réel.On utilisera sans démo le resultat suivant: tout reel x est limite d'une suite (Un)=(Pn/Qn) de nombres rationnels."

merci pour votre aide !

la

par **lapras** » 16 Jan 2008, 20:38

Bonsoir,
peux tu donner l'énoncé en entier ?

pour tout (x,y) dans R²,
(1) : f(x+y)+(x+y)=[f(x)+x][f(y)+y]
(2) : f(1) = a avec a dans ]1,+infini[

sinon ,
on démontre par récurrence que
f(n*x)=[f(x)+x]^n-n*x
en posant X = -x
f((-n) * x) = (f(-x) - x)^n - (-n)*x
or on démontre que

f(-x)-x=1/(f(x)+x)
(car f(0) = 1, c'est immédiat)
donc
(f(-x)-x)^n = (f(x) + x)^(-n)
la relation est donc vraie pour tout n dans Z

POur la derniere question,
trouve une relation de récurrence entre f(n) et a = f(1) (f(2) = f(1+1) = .... ; f(3) = f(2 + 1) = ... )
étend la aux réels en prenant une suite de rationnels et en utilisant ta relation de récurrence. (fais converger ta suite vers un réel x)

par **Babe** » 16 Jan 2008, 20:45

heyhey lapras a changé de section, à partir de septembre on va avoir un pensionnaire à plein de temps :zen: :zen:
je pense que le bac tu vas pas trop galerer :ptdr: :ptdr:

par **lapras** » 16 Jan 2008, 20:47

Je compte bien changer de section, car j'ai commencé le tomme 1 d'algèbre de MPSI et c'est pas facile sur certains exercices !
Je vais avoir besoin de votre aide :d

par **Babe** » 16 Jan 2008, 20:50

tu bosse sur Algebre MPSI de Jean Marie Monnier ?

par **lapras** » 16 Jan 2008, 20:52

Exact !
"Cours et 600 exercices corrigés, Algèbre 1, 2èeme édition"

par **Babe** » 16 Jan 2008, 20:56

ouai c'est un très bon bouquin
les francais sont forts en maths mais pas forcement ceux qui detaille le plus lol
si tu veux aussi un très bon bouquin, qui explique vraiment tout, "pk l'algebre lineaire" "pk on fais cela" "quel est la finalité" etc...avec de tres bon cours et exercice tu peux consulter "Algebre lineaire" de Lay
http://books.google.fr/books?id=Blv5rHQima8C&dq=lay+algebre&pg=PP1&ots=kFZum1XoKJ&sig=huz8UAH1eX6A4Xokv6PrHcXQsHQ&hl=fr&prev=http://www.google.fr/search?hl=fr&q=lay+algebre&btnG=Rechercher&sa=X&oi=print&ct=title&cad=one-book-with-thumbnail

par **lapras** » 16 Jan 2008, 21:04

Merci du conseil :)
je vais voir si je l'achete ou pas, pour l'instant je reste un peu avec Monier. :happy2:

par **ThSQ** » 16 Jan 2008, 21:11

Bof le Monnier ...

par **Babe** » 16 Jan 2008, 21:19

ThSQ a écrit:Bof le Monnier ...

perso je trouve que c'est pas detaillé et que les exo sont bofs...
sinon le cours est bien fait

par **JLN37** » 16 Jan 2008, 21:31

okay pour la relation de recurrence
mais a quoi me sert l'indication (Un) = (Pn)/(Qn)
merci

par **lapras** » 16 Jan 2008, 21:35

Bah en fait on te dit juste que tout réel est limite d'une suite de rationnels.
Tu as une relation pour tous rationnels : f(p/q) en fonction de a = f(1).
apres tu choisis une suite (Xn) de rationnels et fais la tendre vers un réel x.
Tu obtiendras une relation pour tout réels.

par **lapras** » 16 Jan 2008, 21:47

Je viens de m'aperçevoir que l'astuce marche si f est continue !
Te précise-ton si f est continue ?

Equation fonctionnelle .

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