Equation fonctionnelle

par **maxboubou** » 16 Déc 2006, 19:34

bonjour...
j'ai un petit probleme...
comment faire pour décrire l'ensemble des fonctions f verifiant
f(x)-f(y)=(x-y)*f'((x+y)/2) ? svp

j'ai dérivé deux fois, parce qu'on se doute bien que se sont toutes les fonctions verifiant ax^2+bx+c mais impossible de trouver une derivée seconde constante...

par **fahr451** » 16 Déc 2006, 19:55

quelles hypothèses de régularité a t on sur f , continue ? dérivable ?

par **Zebulon** » 16 Déc 2006, 20:01

Bonsoir,

fahr451 a écrit:quelles hypothèses de régularité a t on sur f , continue ? dérivable ?

f est forcément continue et dérivable puisqu'on parle de sa dérivée.

par **fahr451** » 16 Déc 2006, 20:12

bigre le ' était caché merci bien

par **maxboubou** » 16 Déc 2006, 20:36

fonctions definies sur R, dérivables bien sur
j'ai vérifié qu'elles étaient indefiniment derivables

par **Gary O** » 16 Déc 2006, 21:17

Salut, ton intuition est la bonne, pour le prouver, il faut que tu dérives ta relation par rapport à y, puis par rapport à x. La différence des deux relations obtenues te donne une nouvelle équation f'(x)+f'(y)=2f'((x+y)/2), que tu redérives par rapport à x et par rapport à y, et tu fais encore la différence des deux pour avoir finalement f''(x)=f''(y). ;)

par **fahr451** » 16 Déc 2006, 21:27

autre façon

la dérivabilité impliquant ici le caractère c infini

on dérive par rapport à x puis par rapport à y et ensuite on fait y = 0
f (3) (x/2) = 0 [ sauf en 0 puis en 0 par continuité].d'où f polynôme de degré au plus 2
reste à vérifier.

Equation fonctionnelle

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