Equation fonctionnelle

[kkk]

Bonjour,
Voici un exercice que j'ai commencé mais que je n'arive pas à finir :
Soit :
(E) : f'(x) = (1/x)f(1-x) pour tout x appartenant à ]O;1[
tout x appartenant à ]O;1[
On suppose que f est une solution de E.
-Montrer que f est deux fois dérivable sur l'intervalle =>OK
-Déterminer f'' à l'aide de f' => OK
-Montrer que f est solution de (E') xf''(x) + f'(x) + (1/(1-x))f(x) = 0 => OK

On pose u(x) = f(x)/(x-1) pour tout x appartenant à ]O;1[
-Montrer que f est deux fois dérivable sur ]O;1[ => OK
-Montrer que x(x-1)u''(x) + (3x-1)u'(x) = 0 pour tout x appartenant à ]O;1[
=> OK
-Là il y a une question intermédiaire où on trouve que
(3x-1)/(x²-x) = 1/x + 2/(x-1)
-En déduire l'expression générale de u' => Je trouve :
u'(x) = 1/(x(x-1)^2) * constante
-Là j'ai montré que :
1/(x(x-1)^2) = 1/x + -1/(x-1) + 1/((x-1)^2)
-En déduire l'expression générale de u => PROBLEME
-Résoudre (E') => Problème encore
-Résoudre (E) => et encore...

Merci de votre aide
louise

[kkk]

merci
je trouve
u(x)=ln(x/(x-1)) - 1/(x+1)
Pouvez-vous me dire si cette expression est correcte ?
Comment dois-je my prendre pour résoudre E' ?

admettons que je trouve u correctement (peut-être un jour :id: )
je trouve donc l'expression de f qui est solution de E'
J'ai donc UNE seule solution...c'est ça que je ne comrends pas..ça ne me laisse pas bcp de choix pour les solutions de E, soit f soit rien...