Equation fonctionnelle : f²+f=id

[Dinozzo13]

Bonjour, j'aimerai déterminer l'ensemble des fonctions définies, continues et dérivables sur telles que, pour tout réel : , mais je bloque un peu.

J'ai d'ores et déjà établi que f(0)=0 ou f(0)=1.
J4ai essayé de dérivé mais ça ne donne rien.

Je m'en remet à votre aide.

[Doraki]

Tu as essayé de regarder f(-100) ?

[Le_chat]

C'est vraiment f^2+f=x où le ^2 désigne la mise au carré, et pas la composition?

Dans ce cas, je pense que tu peux résoudre l'équation pour tout x: si tu poses f(x)=y, tu cherches à résoudre:

y^2+y=x, que tu sais faire depuis la première! Ensuite, à toi de voir comment conclure.

[Zweig]

Si on suppose que tu as voulu parler de la composition, alors voici une piste. Pour fixé, on pose la n-ième itérée de f, avec . On remarque alors que vérifie la relation de récurrence suivante, pour tout naturel n :



On trouve alors . Ensuite, évalue pour et , tu trouves alors une expression pour f(x). Reste après à faire la réciproque pour voir les "vraies" fonctions solutions.

[Dinozzo13]

Si on suppose que tu as voulu parler de la composition, alors voici une piste. Pour fixé, on pose la n-ième itérée de f, avec . On remarque alors que vérifie la relation de récurrence suivante, pour tout naturel n :



On trouve alors . Ensuite, évalue pour et , tu trouves alors une expression pour f(x). Reste après à faire la réciproque pour voir les "vraies" fonctions solutions.

Oui, j'ai oublié de le préciser mais il s'agit de la composition et non pas de la mise au carré.

JE vais voir ça et je vous tiens au courant :++:

[Dinozzo13]

C'est vraiment f^2+f=x où le ^2 désigne la mise au carré, et pas la composition?

Dans ce cas, je pense que tu peux résoudre l'équation pour tout x: si tu poses f(x)=y, tu cherches à résoudre:

y^2+y=x, que tu sais faire depuis la première! Ensuite, à toi de voir comment conclure.

Mais pour le fun, je fais le carré.
Au final je trouve :
.

Cependant, si on cherche toutes les fonctions définies sur R alors, il n'y a aucune fonction qui convient.

J'aimerais également savoir la différence entre les énoncés suivants :
"Déterminer toutes les fonctions f définies sur R" et "Déterminer toutes les applications f de R dans R".

Est-ce que si on a une application f de E dans F alors f(E)=F, ou autrement dit, toutes les valeurs de F doivent être atteintes pour que l’application f puisse satisfaire une équation fonctionnelle donnée ?

[barbu23]

Si on suppose que tu as voulu parler de la composition, alors voici une piste. Pour fixé, on pose la n-ième itérée de f, avec . On remarque alors que vérifie la relation de récurrence suivante, pour tout naturel n :



On trouve alors . Ensuite, évalue pour et , tu trouves alors une expression pour f(x). Reste après à faire la réciproque pour voir les "vraies" fonctions solutions.

svp, je ne comprends pas comment tu fais pour trouver que : . Peux tu me l'expliquer stp ?
Merci infiniment. :happy3:

[ffpower]

Si on suppose que tu as voulu parler de la composition, alors voici une piste. Pour fixé, on pose la n-ième itérée de f, avec . On remarque alors que vérifie la relation de récurrence suivante, pour tout naturel n :



On trouve alors . Ensuite, évalue pour et , tu trouves alors une expression pour f(x). Reste après à faire la réciproque pour voir les "vraies" fonctions solutions.

Je crois pas qu'on trouve d'expression pour f(x) avec ton truc: ce qu'on trouve, c'est une expression pour f^n(x) en fonction de x et f(x)

[Zweig]

Barbu > J'applique les résultats sur les relations récurrentes linéaires d'ordre 2 : http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_r%C3%A9currente_lin%C3%A9aire#Suite_r.C3.A9currente_lin.C3.A9aire_d.E2.80.99ordre_2

Ffpower > Pour n = 0, et pour n=1, par substitution ()

Il suffit alors de faire la réciproque en réinjectant f dans l'équation de départ pour déterminer les , s'ils existent, solution, non ?

[ffpower]

Le prob, c'est que alpha dépend de x, et donc que la substitution risque de pas donner grand chose

[barbu23]

Pour fixé, on pose la n-ième itérée de f, avec . On remarque alors que vérifie la relation de récurrence suivante, pour tout naturel n :

Merci Zweig :happy3:
Peux tu me dire pourquoi verifie la relation de récurrence : ?

Merci d'avance. :happy3:

[ffpower]

En regardant l'équa fonctionnelle pour x=x_n.

[barbu23]

En regardant l'équa fonctionnelle pour x=x_n.

Merci ffpower :happy3:
Donc :
et donc, la solution de cette équation est la fonction tel que
c'est à dire :
non ? :mur:

[Zweig]

ffpower > Du coup, page 14, ils ont faux lorsqu'ils affirment que f(x) = bx (j'ai utilisé un argument similaire) ? http://www.animath.fr/old/cours/eqfonc.pdf

[Doraki]

Non ils ont pas faux ils ont montré que l'un des coefficients était forcément nul parceque par hypothèse la fonction prend des valeurs positives, et donc ça simplifie la relation de récurrence d'ordre 2 en une relation de récurrence d'ordre 1 : f(x) = b*x. (et f^(n) (x) = b^n * x : le coefficient de (a-b)^n est 0 et le coefficient de b^n est x, qui dépend bien de x)

Ici j'vois pas où t'as montré que l'un de tes coefficients était nul.

[Doraki]

- Si f(x) = x alors x=0 :
Si f(x) = x alors x+x=x, donc x=0.

- Si x > 0 alors f(x) < x :
Sinon alors f(f(x)) = x - f(x) < x < f(x).
Le TVI dit qu'alors f a un point fixe dans [x ; f(x)], ce qui est impossible puisque 0 < x < f(x).

- Si x < 0 alors f(x) > x :
Sinon alors f(f(x)) = x - f(x) > x > f(x).
Le TVI dit qu'alors f a un point fixe dans [f(x) ; x], ce qui est impossible puisque 0 > x > f(x).

- f(x) = 0 <=> f(x) = x <=> x= 0 :
Comme f(1) < 1 et f(-1) > (-1), d'après le TVI, f a un point fixe dans [-1;1].
Si f(x) = x alors x=0 donc ce poînt fixe est 0, et donc f(0) = 0.
Si f(x) = 0 alors f(0) = x, donc x=0, donc 0 est le seul zéro de f.

- Si il existe un x tel que f(x) est du même signe que x, alors pour tout x de R, f(x) = (;)-1)*x :

Par exemple supposons 0 < f(x) < x (l'autre cas se fait de la même façon) :
Dans ce cas, on a 0 < f(f(x)) = x - f(x) < f(x) < x, donc la suite f^(n) (x) décroit vers 0 en restant positive. Or comme elle est de la forme f^n(x) = a (;)-1)^n + b (-;))^n, cela implique que b=0 et a=x.
Si maintenant on a f(x') < 0 < x' pour un certain x', alors f a un zéro entre x et x', ce qui est impossible, donc pour tout x >= 0, f(x) = (;)-1)*x.
En outre, si on a x' < 0 < f(x') alors f(f(x')) = x' - f(x') < x' < 0 < f(x'), ce qui est impossible.
Donc pour tout x' < 0, x' < f(x') < 0, et un raisonnement identique montre que f(x) = (;)-1)*x pour tout x de R.

- Si il existe un x tel que f(x) est de signe différent de x, alors pour tout x de R, f(x) = -;)*x :

Supposons donc que x et f(x) sont toujours de signe différent.
Alors f(x) < 0 < x < f(f(x)) = x - f(x), donc x a un antécédent par f dans [f(x) ; x], et cet antécédent est unique parceque s'il en existe un, il doit être f(x) + x.
On montre alors facilement par récurrence que la suite f^(-n) (x) est une suite alternée qui tend vers 0 : f(x) < f-1(x) < ... < 0 < ... < f-2(x) < x < f(f(x)).
Or comme elle est de la forme f^(-n)(x) = a (;)-1)^(-n) + b (-;))^(-n), cela implique que a=0 et b=x,
Donc f(x) = -;)*x pour tout x de R.

[barbu23]

Attention ! et dépendent de .
On a : et .

[ffpower]

Ma méthode est quasi identique: je justifie que f est bijective, donc en particulier monotone, et en utilisant que et , j'en déduis que b ne dépend pas de x si f est croissante, ou que a ne dépend pas de x si f est décroissante, et donc que f est affine, puis linéaire et réinjectant..

Mais c'est en fait à peu près ce que tu fait sauf que tu regardes juste la monotonie entre x et 0 au lieu de x et y quelconques..(et que t'obtiens à la fin directement f linéaire car tu as déjà justifié que f(0)=0)