équation fonctionnelle

[bentaarito]

Bonsoir,

soit f la fonction définie par
pour tout (n,m) de IN*xIN* ,f(n,m)=f(n,m-1)+f(n-1,m) et f(1,m)=f(n,1)=1 .
Je veux expliciter f en fonction de n et m. Une piste?

[Nightmare]

Hello,

dans ce genre de situation, une méthode qui marche presque à coup sûr est de dérouler les calculs en partant de f(n,m) en essayant à chaque fois de diminuer les valeurs dont on calcul l'image. Quand on aura assez diminué, on se retrouvera avec de f(1,truc) et des f(machin,1) qu'on sait bien calculer.

On commence par exemple comme ça :




etc. jusqu'à :

en substituant on obtient

Reste à faire le même travail sur chaque f(n-1,m-k), une formule devrait vite arriver.

[bentaarito]

donc on doit avoir:





.
.
.
.


mais ça sera un peu chiant de trouver le d'abord, puis de remplacer tout ça dans la somme du départ. :hein:

[ffpower]

Le déroulement ne marche pas forcément..(par exemple sur Fibonacci u_{n+2}=u_{n+1}+u_n, bonne chance pour dérouler ça^^)
Aprés dans des cas gentils, on peut espérer que ça marche mais il faut pas s'embrouiller dans le déroulement. Une méthode plus simple est d'espérer que étant dans un cas gentil, la formule doit pas être trop crado, et donc de calculer les 1eres valeurs pour deviner une formule à montrer par reccurence double..Prends donc un quadrillage et calcule et place les valeurs f(m,n) en coordonnées (m,n) pour un certain nombre de valeurs (m,n), puis devine une formule..

[busard_des_roseaux]

Une piste?

il semble que f(y,x) vérifie la meme relation que f(x,y). A considérer
f symétrique puis antisymétrique, il n'y a qu'un pas...

donc p-e regarder ce qui se passe sur la diagonale

[busard_des_roseaux]

on a immédiatement

[busard_des_roseaux]

Quand on évalue , en substituant récursivement, on obtient

[busard_des_roseaux]

Bonjour,

qui a trouvé ? :doh:

[busard_des_roseaux]

[bentaarito]

C'est pas plutot on doit commencer par (0,0) dans le triangle de Pascal, non?

[Skullkid]

C'est pas plutot on doit commencer par (0,0) dans le triangle de Pascal, non?

Oui, c'est celle-là, il ne te reste plus qu'à la démontrer par récurrence si ce n'est déjà fait. À noter qu'elle est bien symétrique en m et n, puisque

Perso pour trouver j'ai calculé f(2,m), f(3,m) et f(4,m), en utilisant la même méthode que Nightmare. La formule apparaît assez nettement.

[bentaarito]

oui c'est vrai, j'ai déroulé comme me l'a suggéré Nightmare.

[busard_des_roseaux]

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