équation fonctionnelle

[charif]

bonjour ,


je cherche toutes les applications de R*+ vers R qui vérifient : pour tout x,y de R*+ : f(xy)=f(1/x)f(1/y)



merci pour l'aide...

[euler21]

Salut
Si on commence par évaluer pour x=y=1 on trouve f(1)=1 ou f(1)=0
si f(1)=0 c'est l'application nulle ...
Si tu supposes que f(1)=1 évalue pour y=1/x ça pourrait réduire les possibilités

[charif]

merci


lorsque je prend y=1 je trouve f(x)=f(1/x) et lorsque y=1/x je trouve que f(x)=1/f(1/x) ( ceci dans le cas ou f(1)=1)

il y a encore de mystère !!!

[Sa Majesté]

Donc f(x) = 1/f(x) d'où f(x) = 1 ou -1
et ensuite ...

[charif]

st
pour sa majesté
pourquoi f(x)= 1/ f(x) ?????

[girdav]

On suppose non identiquement nulle (donc ) et on fait .

[charif]

salut

donc d'aprés vous on aura f(x)=f(1/x) et non f(x)=1/f(x)
nespa

[windows7]

dans le cas ou f(1)=1

=> f(x*1/x)=f(x)*f(1/x)

donc 1/f(1/x)=f(x)

[charif]

salut
oui c'est ca ,mais moi je voudrais une forme explicite de f(x)

[Sa Majesté]

Dans le cas où f(1)=1

f(xy)=f(1/x)f(1/y)
On remplace y par 1/x et on obtient 1=f(1/x)f(x)

f(xy)=f(1/x)f(1/y)
On remplace ensuite y par 1 et on obtient f(x)=f(1/x)

De ces 2 égalités on tire f²(x)=1 d'où f(x) = + ou -1

Et puisque f(xy)=f(1/x)f(1/y) alors ça ne peut pas être -1
Il reste f(x)=1

[charif]

salut
meme si vous avez f(xy)=f(1/x)f(1/y) vous ne pouvez pa affirmez que f(x)=1

contre exemple :

la fonction caractéristique de Q

(il vous faut un agrument de continuité)

[Sa Majesté]

(il vous faut un agrument de continuité)

Exact
J'ai failli écrire : "à condition que f soit continue" mais je pensais que c'était implicite