équation fonctionnelle

[egan]

Salut tout le monde.
Me revoilà avec une équation fonctionnelle. C'en est une que j'ai "inventée". Je ne sais pas trop si on peut en faire quelque chose donc j'ai pris les hypothèses les plus larges possibles.
Soit une fonction de classe sur telle que:



J'ai absolument aucune idée pour commencer la résolution.
Qu'est-ce que vous en pensez ?
Merci d'avance.
@+ Boris.

[Ben314]

Salut,
Ta deuxième condition est un peu "foireuse" : pour x=0 on ne peut pas calculer x+1/x...

Sinon, en général, quand on tire une équation fonctionelle un peu au pif, ben... on arrive pas à en faire grand chose.
Sauf qu'ici, ton équation est de la forme fog=gof avec g(x)=x+1/x donc des solutions "évidentes" sont f=g, f=gog, f=gogog,... sauf que, vu que tu veux que f soit définie sur R tout entier, çe ne sont pas de solutions valables...

[Ben314]

Bon, en prenant ces hypothèses là :
continue telle que
Je pense qu'il n'y a pas de solutions :
En faisant il vient que f admet une limite finie en et, en faisant il vient ...

[egan]

Oui désolé pour la deuxième condition, j'ai oublié l'étoile.
J'avais pensé à faire ce que tu as fait pour les limites mais j'avais un gros doute.
Je ne vois pas pourquoi si admet une limite finie en , alors f admet une limite finie en .
Dans l'autre sens, je suis d'accord mais là je ne vois pas.

[Ben314]

Au vu du tableau de variation de f, tout y>2 peut s'écrire (de façon unique) sous la forme y=x+1/x avec x dans ]0,1[ et, lorsque y->+oo on a x->0+.
On en déduuit que lim_{y->oo}f(y)=lim{x->0+}f(x+1/x)