équation fonctionnelle

[egan]

Salut,
Me revoilà avec une autre équation fonctionnelle. Je trouve ça marrant alors ce sera très certainement mon grand jeu de l'été, lol.
En fait, j'ai fait une liste de toutes les formules avec les fonctions usuelles que je connaissais et à partir de ça je me suis fait une liste d'équations fonctionnelles.
Donc je suis parti du fait que et j'en suis arrivé à cet exo:

Soit une fonction continue sur tel que:

Déterminer .

Il se trouve que si on prend n'importe quelle fonction définie et continue sur ]0;1] avec f(1)=0, on peut la prolonger sur [1;+oo[ de manière continue avec la formule:


Je trouve pas ça marrant. Je voudrais rajouter une condition pour trouver des fonctions plus particulières genre les k.ln(x).
Je dirais qu'il faut rajouter la condition de dérivabilité en 1 mais je ne suis pas sûr que cela soit suffisant.
Donc j'ai supposé f dérivable en 1 mais je ne vois pas comment faire la résolution.
Merci pour votre aide.
@+ Boris.

[girdav]

Bonjour,
si f est solution alors pour tout est encore solution (donc on a les ).

[Sa Majesté]

Salut
La condition de dérivabilité en 1 n'est pas suffisante
Par ex je prends f(x) = x-1 sur ]0;1] et f(x) = 1-1/x sur [1;+oo[

[egan]

Vu ton exemple (fort bien trouvé par ailleurs), même la condition dérivable sur R ne suffit pas à restreindre l'ensemble des solutions aux k.ln(x).
Je ne vois pas quelle condition rajouter.

[ffpower]

Chic, un nouvel addict aux équations fonctionnelles^^
mais ton équation ne marchera pas, ta condition n'est vraiment pas assez restrictive. Je te préviens, inventer des équations fonctionnelles, c'est marrant, mais la plupart du temps on crée une équation pourrie, qui a plein de solutions, ou qui est trop facile a resoudre. Faut insister pour en créer des interessantes^^

En l'occurence pour ln, un moyen classique de le récupérer est : f continue telle que f(xy)=f(x)+f(y)
Un autre moyen serait : f dérivable telle que f(x²)=2f(x)
Mais ce n'est pas très interessant car elles peuvent se ramener respectivement à g(x+y)=g(x)+g(y) et g(2x)=2g(x)

[Ben314]

Si tu rajoute des conditions "f dérivable" (respectivement "f deux fois dérivable",... "f 12000 fois dérivable") en 1, cela provoque uniquement que la fonction que tu choisie "au pif" sur ]0,1] doit avoir une dérivé (respectivement ces 2 ou 12000 premières dérivées) particulière au point 1 et, il y a des tas de fonctions a vérifier ces conditions.
Même si tu impose à f d'être indéfiniement dérivable, il va encore y avoir des tas de solution : tu prend ln(x) sur ]0,1] auquel tu ajoute une fonction dont toutes les dérivées sont nulles en 1...

Si tu veux n'avoir comme solution que les multiple de ln(x) il faut donc encore restreindre : la classe encore plus réduite est celle des fonctions analytiques en 1, c'est à dire indéfiniement dérivable ET développables en série entières.

Je pense donc que, si tu veut "peu" de solution, il faut chercher les fonctions vérifiant ton équation ET développable en série entière au voisinage de 1 avec un rayon de C.V. égal à 1 : il devrait y avoir trés nettement moins de solutions...

[egan]

Merci beaucoup pour toutes vos réponses.
J'ai essayé de résoudre l'équation fonctionnelle:
Soit f une fonction continue et dérivable sur telle que
sans passer par celle-ci:
Soit f une fonction continue et déribale sur telle que .
J'ai utilisé une astuce que m'avait montré Ben314. D'ailleurs je n'ai pas besoin de la dérivabilité sur mais juste en 1.
D'après la relation que vérifie f, on a:

Donc:


Donc maintenant problème: comment déterminer la limite qui reste à calculer. Ca devrait normalement être ln(x) mais je ne vois pas comment la calculer.
Je trouve ça plus simple de la mettre sous cette forme:

Je peux donc calculer cette limite là:

J'en arrive donc à calculer cette limite là:

Si je me trompe pas, un D.L à l'ordre 0 en 0 de cette expression donne:
ln(x)+o(1) pour y tendant vers 0.
Ce qui nous donne bien la bonne limite.

Qu'est-ce que vous en pensez ? Il y a peut-être plus rapide pour calculer la limite non ?

[ffpower]

Une astuce pour la fin : ce que tu as fait pour f, est valable en particulier si f=ln puisque ln vérifie l'équation fonctionnelle. DU coup t'a pas besoin de calculer la limite, tu obtiens direct que f et ln sont proportionnelles ( bon et en plus au passage tu récuperes effectivement que la limite vaut ln(x) )

[Ben314]

Tient, j'ai essayer de voir pour les fonction développable en série entière en 1, il y a quand même plein de solutions (autres que les multiples de ln(x)) mais y-en-a t'il une "exprimable plus ou moins simplement" ?