Salut,
Je sais pas trop ce que tu appelle "avec la densité", mais ça pourrait ressembler à ça :
S'il existe un a>0 tel que f(a)=0, alors, pour tout x>0, on a f(x)=f(a)f(x/a)=0 donc f est identiquement nulle : cela fournit une première solution.
On suppose dorénavant que f ne s'annule pas sur ]0,oo[. Comme elle est continue sur cet
l'intervalle, cela signifie qu'elle ne change pas de signe (théorème des valeurs intermédiaires). Or f(1)=f(1.1)=f(1)f(1) donc f(1)=1>0 (car f(1) non nul) et cela implique que f(x)>0 pour tout x>0.
Partant de f(xy)=f(x)f(y), une petite réccurence montre que, pour tout entier n et tout x>0,
=f(x)^n)
donc, que
=f(x^n)^{\frac {1}{n}})
(car f(x)>0) d'où , pour tout y>0
=f(y)^{\frac {1}{n}})
.
Cela implique que, pour tout x>0 et
, on a
=f(x)^\lambda)
.
Mais, pour x fixé, la densité de
dans
ainsi que la continuité de f et de
montrent qu'en fait, pour tout x>0 et
, on a
.
En prenant par exemple
on en déduit que, pour tout
on a
)=f(e)^\lambda)
, dont pour tout
=f(e)^{\ln(t)}=\exp\big(\ln(t)\ln(f(e))\big)=t^r)
où
))
est une constante réelle.
Réciproquement, il est immédiat que toute fonction
(où r est une constante réelle fixée) vérifie l'équation de départ.
