équation fonctionnelle

[egan]

Salut,
J'ai trouvé ce problème sympa je ne sais plus où.
Soit une fonction continue sur vérifiant:


Si je me souviens bien il fallait montrer qu'elle était dérivable deux fois et que:


J'ai essayé de résoudre le problème avec l'intégration. J'ai un début qui ne me paraît pas trop moche.
Voilà ce que j'ai fait:

Soit et .
est continue donc on peut en prendre l'intégrale.
Donc:

On arrive donc à ça:

Je suis à peu près sûr qu'il existe un tel que:

Ce qui nous donnerait:

Comme les fonctions intégrales figurant dans cette expression sont dérivables, on en déduit la dérivabilité de et l'expression de sa dérivée en fonction de . Puisque est dérivable, on en déduit que l'est ainsi que l'expression de .
Après on arrive sur des calculs que je n'ai pas terminé mais il me semble que l'on doit pouvoir finir comme cela.
J'ai besoin de votre aide pour montrer l'existence de mon . Il doit y avoir d'autres méthodes pour résoudre cet excercice mais j'aimerais vraiment le résoudre avec l'intégration.
Voilà. Merci d'avance.
@+ Boris.

[ffpower]

en fait tu n'as pas besoin d'un h tel que l'intégrale soit égale a 1 pour conclure. Il suffit d un h tel que l'intégrale soit non nulle. Or si l'intégrale est nulle pour tout h, on en déduit des choses :zen:

[egan]

Si l'intégrale est nulle pour tout h, la fonction est la fonction nulle.
On se place donc dans le cas où la fonction n'est pas la fonction nulle. Il existe donc un h tel que l'intégrale n'est pas nulle. On peut donc diviser et on a le même raisonnement. Donc f est dérivable deux fois.
On s'en sort avec les calculs après ?

[Ben314]

oui, on s'en sort assez facilement...

[ffpower]

Une fois que tu as que f est 2 fois dérivables, le plus simple est alors de repartir de l'équation initiale puis de :
-dériver la relation 2 fois par rapport à x d'une part
-dériver la relation 2 fois par rapport à y d'autre part

[benekire2]

Salut, j'avais bloqué sur cet exercice, pas super évident je trouve :hein: et on m'avait donné des liens. Il s'avère que c'était un problème des mines sup :

http://maths-forum.com/showthread.php?t=106422

Pour les liens :

http://www.maths-france.fr/MathSup/Problemes/MinesSup/MinesSup2000_2003/index.php


Sujet 2000 spécifique MPSI problème 1.