Equa diff

[georgess]

Bonsoir , alors je repars à l'attaque et ça sera fini pour ce soir sur les equa diff :-) :

On cherche à trouver y(x) continue et dérivable sur ]0;+inf[ satisfaisant l'équation différentielle suivante :

y'log(x) + (1/x)y = 1 .

1) Alors je m'interesse à l'équation homogène et je dois montrer que y(x) = Cste/log(x) sont les seules solutions .

Donc l'équation homogène c'esty log(x) + (1/x)y = 0 , ce qui nous donne :

y'/y = -1/(log(x)*x)

donc j'ai ln y = A(x) + C , A(x) étant la primitive de -1/(log(x)*x) . Alors ici mon probleme est de calculer cette primitive , mon idée c'est de considérer x et log(x) comme 2 fonctions U et V , donc j'aurais -(U V)^-1 mais ça ne va pas pour faire une intégration par parties à cause de l'exposant , quelqu'un a une idée pour calculer cette primitive ?

merci

[nuage]

.
On a donc comme primitive.

[georgess]

attention , ici ce n'est pas un ln mais un log , ça ne change rien ?

[georgess]

ok , donc ici on a U = log(x) , donc la solution de l'équation homogène serait -(log(x) + C) , vu que ln(y) = - ln(log(x)) + C . Mais je dois montrer que y = Cste/log(x) sont les seules solutions .

Je pensais utiliser la loi qui dit que lnA-lnB = ln(A/B) mais j'arrive pas à la faire coller ici...

[georgess]

on a y'log(x) + (1/x)y = 0 ce qui nous donne :

y'/y = -1/x log(x)

donc ln(y) = -ln(log(x)) + C

y = -log(x) + C

-ln A = 1 / ln A , donc y(x) = C / log(x) , ça colle ?