Equa diff...

[Yohan_]

Salut pourriez vous m'expliquer cet exercice svp :



Soit la fonction g (x) définie par :
g (x) = C_1 x^4 pour x ;) 0
g (x) = C_2 x^4 pour x ;) 0 C_1 , C_2 étant deux constantes arbitraires.

1. Montrer que la fonction g (x) est dérivable sur R.
2. En déduire la solution générale sur R de l’équation différentielle : x.y’ – 4y = 0
3. Donner une solution particulière y_0 (x) à l’équation : xy’ – 4y = -3x qui soit un polynome du 1er degré



salutations et remerciements.

[serge75]

Pour la première question, le seul problème est celui de la dérivabilité en 0. Utilise le taux de variation ou le théorème de 'la limite de la dérivée'.
Pour la deuxième question : on ne peut résoudre une equadiff linéaire que sur un INTERVALLE et quand elle est sous la forme (pour une eq d'ordre 1) y'=a(x)y+b(x) (forme dite résolue en y').
donc ici, tu vas résoudre ton équation séparément sur ]-infty,0[ et sur ]0,infty[ (pour pouvoir diviser par x). tu obtiens comme solution générale y=Kx^4.
Enfin tu cherches les solutions sur R.
Tu dis qu'une solution sur R est solution sur chacun des deux intervalles ci-dessus, et donc est de la forme g(x) (cf l'énoncé de la première question) (les résolutions sur chacun des deux intervalles étant indépendante, les deux constantes d'intégration sont a priori disctinctes).
maintenant, reste à voir si ta fct g est solution sur R ; elle l'est visiblement sur ]-infty,0[ et ]0,+infty[. Reste à savoir si elle est dérivable en 0 : oui d'après la première question, et si l'equation est vérifiée en 0 : c'est immédiat compte-tenu que g'(0)=0.
voili voilou